第七十一章相交弦

    在说今天的话题之前，我要说一下围棋。九年前，我知道了围棋。我就想下，结果总是输。从此，我的心里就有了阴影。六年前，我又开始尝试围棋。这次，我突然意识到围棋与数学的关系。于是，我就开始从数学的角度来看待围棋。突然之间，我觉得围棋竟然有点简单了。围棋中有个大杀器就是最小三角形三子下法。就是这么简单的方法，让与我对弈的初学者感到无可奈何。它有几大优势。第一就是灵活。几乎在任何位置和情况下，最小三角形都可以构造。你完全不用担心会没有用武之地。第二，就是布局。没错，如此简单的方法居然可以布局，这恐怕是很多人都没有想到的。我敢说应付初学者，这就是最好的选择。第三，就是结合性特别强。最小三角形可以发展成第二小正方形中心五点，还有其他很多种结合方式。对于对手要逃，不能挨着堵。而是在他棋子的外围的对角线点上布置，这样的话他怎么逃都在己方的控制之内。

    对了，应该说今天的主题了。相交弦我们提到过一次。我觉得相交弦定理可以推导出很多结论，所以就选择了它。我们过去说过不是每个四边形都是有外接圆的，而相交弦定理正好可以作为一个四边形是不是有外接圆的判定标准。为了突出讨论的讨论性，大家都要对别人的结论发表意见。核桃说了一大堆话，才终于说完。

    我来推导一个简单的。有圆o，在圆o内有内接四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点E。第一，AE.CE=BE.DE。（AE+CE）²－（AE-CE）²=(BE+DE)²－(BE-DE)²。

    小尼，你的这个结论可真够简单的。我就怀疑你是来凑数的。

    埃斯皮诺萨，变个形就是了。AC²－BD²=(AE-CE)²－(BE-DE)²。这么一来，你是否可以接受了呢？我猜你是接受了。第二，还是AE.CE=BE.DE。②AE/BE=DE/CE=k，k是我假定的比值，后面用得到。∵BD=BE+CE，AC=AE+CE。∴BD=1/k.AE+k.CE。∴BD²=1/k².AE²+k².CE²+2。大概就是这样吧

    两人都说：我们没有意见。这个结论听起来很正确。

    我也有简单的推导过程。第一，由小尼的推导有AE/BE=DE/CE=k。由对顶角相等，得(AE²+BE²－AB²)/(2AE.BE)=(CE²+DE²－CD²)/(2CE.DE)，AE=k.BE，DE=k.CE。BE²(1+k²)/(2k.BE²)－AB²/(2k.BE²)=CE²(1+k²)/(2k.CE²)－CD²/(2k.CE²)。∴AB²/(2k.BE²)=CD²/(2k.CE²)。∴AB.CE=BE.CD。第二，当E是BD中点，有2BE²+2AE²=AB²+AD²。∵BE.DE=AE.CE，∴2AE.CE+2AE²=AB²+AD²。∴2AE.AC=AB²+AD²。我的结论就这么多，接下来就让艾丽西亚来吧。

    那我就也来两个简单的推导。还是那个圆和四边形。根据圆周角定理可知∠ADE=∠BCE且∠AED=∠BEC。∴△ADE相似于三角形BCE。∴AD/BC=DE/CE。由小尼的推导可知DE/CE=k，∴AD/BC=k。同理AB/CD=k。∴AD/BC=AB/CD。根据埃斯皮诺萨的第一条结论：AB.CE=BE.CD，∴AD.CE=BC.BE。我的第二条结论很简单，我就不说了。

    看来大家对彼此得出的结论都很相信，所以就没有什么意见。结论正确当然是好事，不过没有讨论的讨论是不是缺少了什么？我想这是我们应该思考的。……。（核桃说）