第三十八章 CMO赛事黑马一
李腾达这同学也不知道平时怎么学习的，在学习方面并不算特别出众，可是对于零食这一块，真的是无可挑剔，就冲这选的一包辣条，他这个朋友，刘祥鹏以后交定了！
“不好好做题反而来这里吃辣条……你就不怕对考试有影响？”
一名导师来到方超的身边盯着他，看着他这幅模样，忍不住开口说话。
这都什么时候了，居然还有心思在这里吃辣条。
刘祥鹏下意识回答道，“完成两道道题了，这不是花了我快两个小时的时间嘛，我这才来休息区休息一会儿吃点东西补充一下体力，老师你不知道啊，这第二道题出的简直就是变态，我平时做一道数学题最复杂的话也就是半个小时不到，这一次第二道题就把我困住了一个多小时，国决的战场果然比我想象的要残酷多了，不知道有没有人已经搞定了两道题了。”
“你花了两个小时做完两道题了？”
这名导师有点儿诧异，题目没出来之前，他们这些导师也是不知道的，基本上全部封锁了消息，只有试卷发下来的时候，他们这才也分到了一份，可是面对这次国决的题目，哪怕是他们也没有办法在两个小时之内就是搞定，这个小子……
要知道，许多导师其实都是大学中的数学教授，数学水平不知道要比这些高中生强大多少，他们虽然可以解决这一道题，可是却没有办法用这么短的时间时间搞定。
眼前的学生莫不是蒙人的？等会儿要去看一看才行。
他还不信了，真的有人可以用两个小时就搞定前两道题。
国决上的题目，可没有一道题是简单的啊……
你把国决当成什么了？
而吃完辣条喝完矿泉水的刘祥鹏再度感受到了精力充沛，他将手擦拭干净之后这才回到自己的座位之上。
开始国决第一天的最后一道题。
最后一道题是这样子的：
【题目三】整数n≥5，求最小的整数m，使得存在两个由整数构成的集合A，B，同时满足下列条件：
（1）｜A｜=n，｜B｜=m，且A⊆B；
（2）对B中任意两个不同元素x，y有：x+y∈B当且仅当x，y∈A。
这一道题在字数上要比第二道题少了太多，可是其难度的话，绝对不会比第二道题简单到哪里去。
数学的魅力正是在于此处，可以让你沉浸其中无法自拔。
刘祥鹏终于又在最后一道题道题上找到了自身的存在感。
这道题我会诶。
有点复杂，但不算太难。
让我将你搞定！
刘祥鹏深吸一口气，拿了一张草稿纸随后开始提笔。
解:所求最小的m为3n。
我们首先给出一个例子。
令A=｛2n，2n+1，...，3n-1｝，B=A∪｛4n+1、4n+2，6n-3｝，则易知｜A｜=n，｜B｜=3n-3，且A⊂B。
由于A中任意两数之和必不小于2n+n(2+1)=4n+1，也不大于(3n-1)+(3-2)=6n-3，故当x，y∈A且不相同时必有x+y∈B。
另一方面，若x，y∈B且x+y∈B，则由x+y≤6n-3，x≥2n得y≤4n-3，
故必有y∈A，同理X∈A;这就说明A，B是符合题目要求的。
下面证明m不可能更小。
假设A，B是满足题目条件的两个集合，设A=｛a1，a2，...，an｝，其中a1
......
若......。
我们使用反证法，假设存在......
故只能......
考虑an-3+an-2和an-3+an-1这两个数，首先由an-2>0知它们都大于an-3，但它们又显然都小于an-2+an-1=an......
综上所述，所求最小的m为3n-3。
“唔，有点简单哇，好无聊呢这一道题，太轻松了吧，我只用了三十多分钟的时间就是搞定这一道题……”
刘祥鹏有点儿失望，国决赛事第一天最后一道题会是酱紫的么？居然让人无法感受到挑战性，出题的人是谁，出来！
而早前在暗中观察刘祥鹏吃辣条的导师不知道何时站在了刘祥鹏的身后，他一直盯着刘祥鹏试卷上第二道题的解题步骤，作为导师，他虽然无法完成步骤，可是却是知道答案，所以在他看到刘祥鹏最后的答案为第四间的时候，他就知道，对方这一道题基本上拿到分数了，只要当中的步骤没有任何错误的话，那么这21分就算是到手了。
所以他开始慢慢从刘祥鹏的第一个思路开始看下来。
“没错。”
“没错。”
“不错。”
“可以！”
直到一切看完之后，他暗暗称奇，这个少年来自于哪一省？似乎有点儿强……
国决赛事上每年都会出现一些特殊的强者，他们并不意外，但对于这样一道题，能如此快速的解决，实在少见。
刘祥鹏，楚南省……
好像在名单上面看到过……
高一新生?
对，是高一新生！
如果是其他学生的话，除非特别强悍，这些导师才会记住，毕竟接近四百多名的参赛选手，不是特别牛逼的话，很难让人记忆犹新，刘祥鹏不是以一个强者的姿态登临这样一个舞台，他是以一个高一新生进入到这样子的赛场当中，所以一下子就会让人记住他的特殊性。
少有的高一参赛选手。
不过很快，他的瞳孔就是放大，一脸震惊的望着刘祥鹏。
就这么一会儿的时间，他居然连最后一道题都给搞定了？
而且……
步骤，
答案！
尼玛，全都没错。
卧槽！这才两个多小时，三个小时的时间不到吧？你都把第三题给完成了？这……变态吧？你还是人么？
现在的高一新生都已经牛叉到这种地步了么？
第一，第二道题已经给了这位导师很是沉重的打击，而这第三道题的快速解答更是让这位导师崩溃，这位选手看起来不是一般的强，而是强的让人出人意料。
或许他会是今年国决赛事上最强的一匹黑马。
完成三道题的情况之下，63分到手，基本上稳了。
“艹！！”
这名导师下意识的说了一句脏话。
“吓！”
刘祥鹏转身，被吓到了。
“老师，你在我的身后骂我干嘛？”
“我没有骂你，你做你的题，管我作甚。”
这名导师很是后悔，没有形象了，居然在考生的面前说了脏话，这很不像他啊。
“哦。”
刘祥鹏应了一声，没再去管这名老师，而是继续他的作答，把草稿纸上的解题步骤誊写到答题卡上。
“老师，你怎么还在我的身后……你这样子很影响我作答啊……总感觉背后有一双眼睛盯着我，好难受的说……”
刘祥鹏转身，发现之前那位导师居然阴魂不散的站在他的身后，一双眼睛一直盯着他，不曾离开。
太过沉浸数学题的时候没有发现，这一完成第三道数学题，那种感觉就使得刘祥鹏毛骨悚然，很不习惯有人在背后盯着的。
“我刚好走到你这边上，你做你的题，不用管我，我转转就走了。”
这名导师打死不能承认一直站在刘祥鹏的身后，但他暗暗咂舌，今年的国决赛事出现了一匹黑马，绝对强势的一匹黑马，楚南省这是隔两年就会出这么一个妖孽？
往年的话，CMO国决赛事，楚南的考生不说年年有，最起码间隔一年两年总会有这么几个拿到国赛金牌的，至于银牌选手不用说年年有。
但眼前这位少年，不过高一，从第一题到第三题，三道题的时间总共加起来不到三小时。
四个半小时的时间，还剩余两个小时呢！这在过去几乎不可想象。
是考题太容易了么？才会让人在这么短的时间之内搞定全部三道题。
不，并非如此……
到现在位置，还被困在第一道题的考生大有人在，困在第二道题的更多。
这些人笨么？
一点儿都不笨，他们都是从各省千挑万选出来的省级数学天才，连他们都还被困在CMO第一道题目之上，自然已经说明了国决的难度。
不过这小子真特么能装逼啊……
导师心中如是想着，但很快就是释然，天才都有一些怪癖，这很容易理解。
数学天才嘛，装个逼算什么？不装逼的数学还是数学嘛？数学的魅力那些凡夫俗子又怎么可能理解，在数学上谈情说爱，这才是人生中最为美妙的一件事不是么？他就是因为数学方面的水平很高，才会在塞纳河畔的湖边邂逅了当时正在留学的华人留学生，他老婆比他还小七岁来着，两人目前婚姻很是幸福，育有两个女儿，人生的美妙不懂数学的人又岂能得知？
刘祥鹏放松了一下，喝了一口水，又吃了一包辣条。
爽！
李腾达你也是我的好兄弟，这辣条味道真棒。
“你这做题还能吃辣条……还真的是与众不同……”
不过刘祥鹏没有急于交卷，这一次的比赛对他而言意义重大，他开始重新审题，复题，大约过了二十分钟的时间，刘祥鹏知道，这一次国决的第一日。
三道题。
满分63分，
到手！
三小时左右的时间之后，刘祥鹏举手。
早前一直暗中观察刘祥鹏的导师走上前来。
“老师，又是你？”
刘祥鹏震惊。
这名导师没好气的望着刘祥鹏道，“我可没有一直盯着你，我负责巡视，你有什么问题可以和我说。”
“老师，那我可以交卷么？我三道题都已经做完了。”
“不需要再检查一下么？”
导师进行询问，这是身为一名导师的基本素养，不想考生在考试的过程当中因为没有检查而出现重大失误，从而与CMO的奖牌失之交臂。
不过除开最后一道题他没有关注到外，对于这学生的另外两题，他相信拿到分数不难，只要有那两道分数的答案，那么他今日到明日的赛场之上基本上没有太大的问题。
这名学生，有可能是本届CMO国决赛事之上最强的一匹黑马。
他很期待，不知道对方能够走到什么位置上面去。
IMO赛事上的金牌么？
“我已经检查过一遍了。”
“好。”
“不好好做题反而来这里吃辣条……你就不怕对考试有影响？”
一名导师来到方超的身边盯着他，看着他这幅模样，忍不住开口说话。
这都什么时候了，居然还有心思在这里吃辣条。
刘祥鹏下意识回答道，“完成两道道题了，这不是花了我快两个小时的时间嘛，我这才来休息区休息一会儿吃点东西补充一下体力，老师你不知道啊，这第二道题出的简直就是变态，我平时做一道数学题最复杂的话也就是半个小时不到，这一次第二道题就把我困住了一个多小时，国决的战场果然比我想象的要残酷多了，不知道有没有人已经搞定了两道题了。”
“你花了两个小时做完两道题了？”
这名导师有点儿诧异，题目没出来之前，他们这些导师也是不知道的，基本上全部封锁了消息，只有试卷发下来的时候，他们这才也分到了一份，可是面对这次国决的题目，哪怕是他们也没有办法在两个小时之内就是搞定，这个小子……
要知道，许多导师其实都是大学中的数学教授，数学水平不知道要比这些高中生强大多少，他们虽然可以解决这一道题，可是却没有办法用这么短的时间时间搞定。
眼前的学生莫不是蒙人的？等会儿要去看一看才行。
他还不信了，真的有人可以用两个小时就搞定前两道题。
国决上的题目，可没有一道题是简单的啊……
你把国决当成什么了？
而吃完辣条喝完矿泉水的刘祥鹏再度感受到了精力充沛，他将手擦拭干净之后这才回到自己的座位之上。
开始国决第一天的最后一道题。
最后一道题是这样子的：
【题目三】整数n≥5，求最小的整数m，使得存在两个由整数构成的集合A，B，同时满足下列条件：
（1）｜A｜=n，｜B｜=m，且A⊆B；
（2）对B中任意两个不同元素x，y有：x+y∈B当且仅当x，y∈A。
这一道题在字数上要比第二道题少了太多，可是其难度的话，绝对不会比第二道题简单到哪里去。
数学的魅力正是在于此处，可以让你沉浸其中无法自拔。
刘祥鹏终于又在最后一道题道题上找到了自身的存在感。
这道题我会诶。
有点复杂，但不算太难。
让我将你搞定！
刘祥鹏深吸一口气，拿了一张草稿纸随后开始提笔。
解:所求最小的m为3n。
我们首先给出一个例子。
令A=｛2n，2n+1，...，3n-1｝，B=A∪｛4n+1、4n+2，6n-3｝，则易知｜A｜=n，｜B｜=3n-3，且A⊂B。
由于A中任意两数之和必不小于2n+n(2+1)=4n+1，也不大于(3n-1)+(3-2)=6n-3，故当x，y∈A且不相同时必有x+y∈B。
另一方面，若x，y∈B且x+y∈B，则由x+y≤6n-3，x≥2n得y≤4n-3，
故必有y∈A，同理X∈A;这就说明A，B是符合题目要求的。
下面证明m不可能更小。
假设A，B是满足题目条件的两个集合，设A=｛a1，a2，...，an｝，其中a1
......
若......。
我们使用反证法，假设存在......
故只能......
考虑an-3+an-2和an-3+an-1这两个数，首先由an-2>0知它们都大于an-3，但它们又显然都小于an-2+an-1=an......
综上所述，所求最小的m为3n-3。
“唔，有点简单哇，好无聊呢这一道题，太轻松了吧，我只用了三十多分钟的时间就是搞定这一道题……”
刘祥鹏有点儿失望，国决赛事第一天最后一道题会是酱紫的么？居然让人无法感受到挑战性，出题的人是谁，出来！
而早前在暗中观察刘祥鹏吃辣条的导师不知道何时站在了刘祥鹏的身后，他一直盯着刘祥鹏试卷上第二道题的解题步骤，作为导师，他虽然无法完成步骤，可是却是知道答案，所以在他看到刘祥鹏最后的答案为第四间的时候，他就知道，对方这一道题基本上拿到分数了，只要当中的步骤没有任何错误的话，那么这21分就算是到手了。
所以他开始慢慢从刘祥鹏的第一个思路开始看下来。
“没错。”
“没错。”
“不错。”
“可以！”
直到一切看完之后，他暗暗称奇，这个少年来自于哪一省？似乎有点儿强……
国决赛事上每年都会出现一些特殊的强者，他们并不意外，但对于这样一道题，能如此快速的解决，实在少见。
刘祥鹏，楚南省……
好像在名单上面看到过……
高一新生?
对，是高一新生！
如果是其他学生的话，除非特别强悍，这些导师才会记住，毕竟接近四百多名的参赛选手，不是特别牛逼的话，很难让人记忆犹新，刘祥鹏不是以一个强者的姿态登临这样一个舞台，他是以一个高一新生进入到这样子的赛场当中，所以一下子就会让人记住他的特殊性。
少有的高一参赛选手。
不过很快，他的瞳孔就是放大，一脸震惊的望着刘祥鹏。
就这么一会儿的时间，他居然连最后一道题都给搞定了？
而且……
步骤，
答案！
尼玛，全都没错。
卧槽！这才两个多小时，三个小时的时间不到吧？你都把第三题给完成了？这……变态吧？你还是人么？
现在的高一新生都已经牛叉到这种地步了么？
第一，第二道题已经给了这位导师很是沉重的打击，而这第三道题的快速解答更是让这位导师崩溃，这位选手看起来不是一般的强，而是强的让人出人意料。
或许他会是今年国决赛事上最强的一匹黑马。
完成三道题的情况之下，63分到手，基本上稳了。
“艹！！”
这名导师下意识的说了一句脏话。
“吓！”
刘祥鹏转身，被吓到了。
“老师，你在我的身后骂我干嘛？”
“我没有骂你，你做你的题，管我作甚。”
这名导师很是后悔，没有形象了，居然在考生的面前说了脏话，这很不像他啊。
“哦。”
刘祥鹏应了一声，没再去管这名老师，而是继续他的作答，把草稿纸上的解题步骤誊写到答题卡上。
“老师，你怎么还在我的身后……你这样子很影响我作答啊……总感觉背后有一双眼睛盯着我，好难受的说……”
刘祥鹏转身，发现之前那位导师居然阴魂不散的站在他的身后，一双眼睛一直盯着他，不曾离开。
太过沉浸数学题的时候没有发现，这一完成第三道数学题，那种感觉就使得刘祥鹏毛骨悚然，很不习惯有人在背后盯着的。
“我刚好走到你这边上，你做你的题，不用管我，我转转就走了。”
这名导师打死不能承认一直站在刘祥鹏的身后，但他暗暗咂舌，今年的国决赛事出现了一匹黑马，绝对强势的一匹黑马，楚南省这是隔两年就会出这么一个妖孽？
往年的话，CMO国决赛事，楚南的考生不说年年有，最起码间隔一年两年总会有这么几个拿到国赛金牌的，至于银牌选手不用说年年有。
但眼前这位少年，不过高一，从第一题到第三题，三道题的时间总共加起来不到三小时。
四个半小时的时间，还剩余两个小时呢！这在过去几乎不可想象。
是考题太容易了么？才会让人在这么短的时间之内搞定全部三道题。
不，并非如此……
到现在位置，还被困在第一道题的考生大有人在，困在第二道题的更多。
这些人笨么？
一点儿都不笨，他们都是从各省千挑万选出来的省级数学天才，连他们都还被困在CMO第一道题目之上，自然已经说明了国决的难度。
不过这小子真特么能装逼啊……
导师心中如是想着，但很快就是释然，天才都有一些怪癖，这很容易理解。
数学天才嘛，装个逼算什么？不装逼的数学还是数学嘛？数学的魅力那些凡夫俗子又怎么可能理解，在数学上谈情说爱，这才是人生中最为美妙的一件事不是么？他就是因为数学方面的水平很高，才会在塞纳河畔的湖边邂逅了当时正在留学的华人留学生，他老婆比他还小七岁来着，两人目前婚姻很是幸福，育有两个女儿，人生的美妙不懂数学的人又岂能得知？
刘祥鹏放松了一下，喝了一口水，又吃了一包辣条。
爽！
李腾达你也是我的好兄弟，这辣条味道真棒。
“你这做题还能吃辣条……还真的是与众不同……”
不过刘祥鹏没有急于交卷，这一次的比赛对他而言意义重大，他开始重新审题，复题，大约过了二十分钟的时间，刘祥鹏知道，这一次国决的第一日。
三道题。
满分63分，
到手！
三小时左右的时间之后，刘祥鹏举手。
早前一直暗中观察刘祥鹏的导师走上前来。
“老师，又是你？”
刘祥鹏震惊。
这名导师没好气的望着刘祥鹏道，“我可没有一直盯着你，我负责巡视，你有什么问题可以和我说。”
“老师，那我可以交卷么？我三道题都已经做完了。”
“不需要再检查一下么？”
导师进行询问，这是身为一名导师的基本素养，不想考生在考试的过程当中因为没有检查而出现重大失误，从而与CMO的奖牌失之交臂。
不过除开最后一道题他没有关注到外，对于这学生的另外两题，他相信拿到分数不难，只要有那两道分数的答案，那么他今日到明日的赛场之上基本上没有太大的问题。
这名学生，有可能是本届CMO国决赛事之上最强的一匹黑马。
他很期待，不知道对方能够走到什么位置上面去。
IMO赛事上的金牌么？
“我已经检查过一遍了。”
“好。”
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