0029 星空不动点

    不动点的现象在自然界、生活中随处可见。

    有次大博老师带着一批学生到一座寺庙去参观，老师把头伸到大吊钟里去观察钟的结构，有个学生很淘气，想吓唬这位老师，就使劲用撞钟木去敲击大钟，结果不但没有吓着老师和旁边的女同学，自己反而被震耳的钟声吓了一大跳。

    为什么会出现这种现象呢？

    大博老师画了一张图并解释说，这与在一个碗里倒满水，然后用筷子敲碗边，我们可以看到波纹从碗周围向碗中心移动的现象是一个道理。此时中心部分波纹因互相抵消而消失。

    你站的地方实际上是声波的不动点，相反，敲钟学生站的地方，恰是钟振动最大的地方，所以声音自然特别震耳。

    比如说拿来同一个人的大小两张照片，把小照片随手叠放在大照片之上，然后你向观众宣布：小张照片上一定有一点O，它和下面大张照片与之正对着的点O′，实际上代表着同一个点。

    对此，你的粉丝一定会半信半疑。不过，当你告诉他如何找到这个不动点时，他们的一切疑虑都会烟消云散。

    设大照片为A′B′C′D′，小照片相应为ABCD，延长AB交A′B′于P点，过A、P、A′，及B、P、B′分别作圆。则两圆交点O即为所求的不动点。

    结果说明了O点在大小照片中，所处的位置没有变动，即O为照片位置变换的不动点。

    瞧！不动点现象是多么神奇，多么耐人寻味！

    另一个例子是星空超市等地方可以看到的平面地图，上面标有“您在此处”的红点。如果标注足够精确，那么这个点就是把实际地形射到地图的连续函数的不动点。

    地外星绕着它的自转轴自转。自转轴在自转过程中是不变的，也就是自转运动的不动点。

    关于不动点系统的研究，华礐证明：任意一个把n维球体变为自身的连续变换，至少有一个不动点。这就是著名的不动点定理！

    粗浅地说，就是“连续变换”原先距离很小的两点，变换后的距离依然很小。至于“n维空间”，这是一个抽象的概念。

    具体地说，直线是一维空间，平面是二维空间，普通空间是三维空间，等等。因而线段是一维球体，平面圆域是二维球体，普通的球是三维球体，等等。

    再比如你拿一个平底盘和一张恰好盖住盘底面的纸，纸上的每一个点正好对应着它正下方盘面上的一个点。现在把纸拿起来随便揉成一个小纸团，再把小纸团扔进盘里。

    那么，根据不动点定理，不管小纸团怎样揉，也不管它落在盘底的什么地方，我们可以肯定，在小纸团上至少有一个点，它恰好位于盘子原先与这一点对应的点的正上方。尽管我们说不准这样的点在哪儿。

    以上事实我们可以给予如下说明：假设小纸团在盘面上的正投影为区域Ω₁。显然，原纸片上与Ω₁相对应的点一定位于Ω₁的正上方，假设纸团里的这部分在盘底的正投影为区域Ω₂，显然Ω₂<Ω₁。

    同样，原纸片上与Ω₂相对应的点一定位于Ω₂的正上方，而纸团里的这部分在盘底的正投影为区域Ω₃，又有Ω₃＜Ω₂，如此等等，可以反复做下去，得到一连串一个比一个小的区域Ω₁，Ω₂，Ω₃，…，这些区域一个含于另一个之内，形成一层小似一层的包围圈。因此最后必然缩到“一个点”（或“一个小区域”），那么这个点（或小区域上的点）在纸团上的位置，一定恰好在该点的上方。

    不动点定理问世后，引起了星空各国科学家的极大兴趣，他们对此做了大量的工作，取得了许多奇妙的应用。

    大博老师证明了n次代数方程，至少有一个根。这就是著名的代数学基本定理。

    尽管这个定理的名称，对于多年后的今天似乎不确切，但对于多年前以方程理论为主体的代数学，却没有言过其实。

    今天，当我们研究了不动点理论之后，可以把方程f(x)=0的求根问题，转化为求函数φ(x)=f(x)+x的不动点。

    由于方程f(x)=0的根不可能超越复数平面的某个半径很大的圆域，又函数φ(x)显然是连续的，因此在这个大圆域运用布劳威尔不动点定理，知道至少存在一个点x，使得φ(x)=x，即f(x)+x=x

    也就是说，方程f(x)=0至少有一个根。

    看！一个在代数学上起着巨大作用的定理，竟如此轻松地证明了。

    不过，对于不动点理论，专家们似乎感到不尽如人意，因为这个理论只告知不动点的存在，却没说不动点在哪里。这个问题困扰了他们达百年之久，直至若生出生，情况才有了转机。

    在不动点由未知转向已知方面，若水取得了重大突破。他提出了一种用有限点列逼近不动点的算法，使不动点的应用，取得了一系列卓越的成果。

    有趣的是，对不动点理论做出如此巨大贡献的若水本人，却是一名专攻虚空宇宙学者。数学上的理论，使若水和他的我伙伴们在多个大型星空领域犹如猛虎添翼，取得了累累硕果。

    童雪们，你看懂这个里面天文与数学的关系了吗？