基数

    概念：

    大基数公理(largecardinalaxioms)是关于大基数存在的一类新加公理。设有关于基数α的一条性质P(α)，它是可以用ZFC系统的语言形式描述的，尽管人们根据直觉相信，有很大的α使P(α)为真，但却不能在ZFC系统内证明“∃αP(α)”这一命题。人们若将∃αP(α)作为公理加入到ZFC系统之中，就称之为一条大基数公理，满足P(α)的α称为大基数。大基数的种类很多。一般地，P(α)都是ω(其基数为0)的某个性质向不可数基数的推广，因而，可以说大基数公理是无穷公理的自然延伸，是人类对无穷世界的认识进一步深化的产物。例如，不可达基数是将ω的“集论运算的不可到达性”推广到不可数基数而得到的大基数。弱紧基数则是将ω所满足的分划关系ω→(ω)22推广至不可数基数而得到的。从这个角度看，大基数公理为人们所乐于接受。增加了大基数公理之后，人们可以对集合论中某些悬而未决的问题做出一定程度的回答。例如，若存在强不可达基数κ，则ZFC相容；若存在拉姆齐基数，则V≠L，即可构造公理不真；若存在强紧基数κ，则V≠L[X]对任何集合X成立，又对于任何大于κ的奇异强极限基数λ，2λ=λ+，这对广义连续统假设做出了。

    基数：

    大基数是集合论用语。满足某些特殊性质的不可数基数。如“不可达基数”、“可测基数”、“超紧基数”等都是大基数。其中，不可达基数是最小的大基数。在公理集合论ZFC系统中，既不能证明大基数存在，也不能否认大基数存在。

    由来：

    大基数的研究由来已久。例如，早在1911年，就开始了对今天称为马赫罗(Mahlo，P.)基数的一类基数的研究；1930年后，就提出了不可达基数和可测基数的概念。但在20世纪60年代之前，这种研究是零星的、分散的。直到20世纪60年代，人们才将大基数公理作为集合论的附加公理来加以研究。近年来，含大基数的内模型成为集合论研究的热点。人们更习惯于用从全域V到某传递类M的非平凡的基本嵌入(elementaryembedding)j：V→M来描述大基数公理。设κ为j的临界点，即最小的满足j(α)=α的序数，记为κ=crit(j)。此时，V和M越相似，所引入的大基数公理越强。例如，如果M⊆M，则称κ为λ超紧基数；如果对任意为λ≥κ，κ为λ超紧基数，则称k为超紧基数；如果Vj(k)⊆M，则称k为超强基数；如果对于任意的f：κ→κ，存在j′：V→M′使得crit(j)=k且V⊆M′，其中M′是传递的，则称κ为谢拉赫基数；如果对于任意的f：κ→κ，存在δ<κ，使得f在δ中封闭且存在j′：V→M′满足crit(j′)=δ且V(j(f)(κ)⊆M′，其中M′是传递的，则称κ为邬丁基数。如果Vλ⊆M，则称κ为λ强基数。λ超紧基数是以色列学者索洛韦(Solovay，R.M.)引入的。λ强基数和超强基数这两个概念是从米雪尔(Mitchell，W.)的工作中提取出的。谢拉赫基数是分别根据他们发现的大基数性质而命名的。可以证明：[2]

    1.若κ是2超紧基数，则存在κ个小于k的超强基数。

    2.若κ是超强基数，则κ是谢拉赫基数并且存在κ个小于κ的谢拉赫基数。

    3.若κ是谢拉赫基数，则κ是邬丁基数并且存在κ个小于κ的邬丁基数。

    4.若κ是邬丁基数，则κ是不可达基数并且存在κ个小于κ的基数δ满足对于任意的λ
    作为公理集合论研究的三大主流之一，大基数公理的研究与可构造性及力迫法这两者的研究有很大的不同：如果说后两者对集合论中的相容性与独立性进行精细的探讨与刻画的话，那么前者则是充分使用各种数学工具，开拓越来越丰富的集合论研究对象。

    用公理及逻辑的方法研究无限集与超穷数的数学理论，是数理逻辑的主要分支之一。

    康托尔于19世纪70～80年代的一系列工作开创了对无穷集的研究。他同时还提出了著名的连续假设。1900年前后，人们在康托尔集论中发现了一系列悖论。消除悖论的途经之一是公理方法。策墨罗于1908年发表了集论的第1个公理系，后经佛兰克尔等人的扩充与完善，成为周知的ZF公理系。另一种公理系是由哥德尔与贝尔奈斯等人提出的，称为GB公理系，其中另引入了类的概念。选择公理(AC)早已被人隐蔽地应用了，但首先是由策墨罗明确提出;由于其不直观性，能否作为集论公理曾有争议。多年来，AC与CH是公理集论的中心问题。1938年哥德尔引入可构造集概念，给出AC，CH与ZF的一个模型;1963年柯亨创造力迫法证明了AC与CH关于ZF独立性。其后的发展是扩充ZFC(主要是引入大基数公理)来讨论GCH及其他问题。集论发展的另一侧面是强调它与分析、一般拓扑与测度论等分支的联系，这是描叙性集论的主题。其中苏斯林假设(S.H.)的独立性及有关问题的研究，是公理集论的第2个中心问题。

    ZF系的形式语言是只有一个二元关系符号∈的带号的一阶语言。ZF由下面8个公理组成。(1)外延公理。若X与Y有相同的元素，则X=Y。(2)无穷公理。存在无限集。下面5个公理是合法的基本造集规则。(3)配对公理。对集a与b，有一个集合恰好只含有a、b二个元素，记为{a，b}。(4)并集公理。对任集X，其并∪X也是集合。(5)幂集公理。对任集X，其所有子集全体P(X)仍是集合。(6)分离公理。对任集X及性质P，Y={x∈X：x具有性质P}是集合。(7)替换公理。F是一函数(在ZF系中是一导出概念)，对任集X，F[X]={F(x)：x∈X}是集合。在上述公理基础上，朴素集论中的一系列基本运算与性质均可导出。(8)正规公理。每个非空集含有一个∈-极小元(非空集关于∈是一偏序集)。应用正规公理，我们可排除罗素悖论且建立起全体集合的累积分层体系。利用分离公理取代概括原理(指每一性质确定一个集合)，便可避免关于最大序数与基数的悖论。选择公理AC：对任非空集S，存在函数f满足，对任X∈S，若X≠∅则f(x)∈X。称f为S的选择函数。ZF添上AC简记为ZFC。AC有许多不同形式的等价变形。例如，代数与分析中常用的曹恩引理，良序原理，拓扑中关于紧空间直积的吉洪诺夫(Tychonoff)定理等等。另外，无穷数学中的许多重要定理的证明都岭不开AC(如戴德金无限与常规无限概念的等价性，线性空间基的存遮性，泛函中的哈恩-巴拿赫定理，L-不可测集的存在性等)。但由AC(及ZF)也可推出一些怪异的结论，如分球怪论。现已知道，AC与⌝AC都分别与ZF相容，这情形类似于平面几何中的平行公设。CH与SH是另2个著名的独立性命题。实数序有一个特征：稠密完备的线性序，无界且有可数稠密子集。苏斯林问：能否把最后一条件即可分性，换成较弱的“每一非交的开区间族可数”?他猜想这不成立，此即SH。