第十八章 先来点数学分析
在这次全球总决赛的赛前预测中，因为看不见希望，秦菲在预测时都把硬币投给主队的对面，这样结果出来的时候心感觉就不会那么痛了。
电子竞技像是人生的缩影，时时刻刻都在提醒人们它的残酷，今年世界赛之后，她支持的选手会退役吗？
秦菲不知道。
那她自己呢？
支持的队伍，支持的选手，喜欢的角色，大家终究都只是彼此的过客，秦菲在游戏或是竞技赛事上花再多的时间，最后都是要回归自己的生活，还好，系统给她找了个目标，她不必为自己要走哪条路过多纠结。
从这个角度看，这个新系统还算是有点正面作用。
等秦菲过完游戏日常，时针已经过了数字“10”，她一看自由时间只有不到17个小时，懒懒地叫系统开任务。
“怎么只有昨天的任务？”秦菲问。
“只有完成前一天的任务才能开启下一天的。”超新星说。
“好吧，那先来点数学分析。”秦菲说。
【超新星任务3-1：阅读《数学分析》第一章变量和函数。】
“三小节，21面，感觉也不是很多嘛。”信心满满的秦菲开始了自己的数学分析之旅。
y=f（x），y是x的像，x是y的逆像。
狄利克雷（Dirichlet）函数：x为有理数，y=1；x为无理数，y=0。
狄利克雷函数是偶函数，是没有最小正周期的周期函数。
大抵因为是开篇，第一章都是十分基础的概念。
“灰色的部分不用看，看黑色的部分就好。”超新星说。
黑色的部分只有一题，这一题的内容是三道互有关联的绝对值不等式证明。
（1）|x-y|≥||x|-|y||
（2）|x1+x2+···+xn|≤|x1|+|x2|+···+|xn|
（3）|x+x1+x2+···+xn|≥|x|-（|x1|+···+|xn|）
第一小问通过两边同时平方可以轻松解决，第二问秦菲直觉不难，应该是有某种规律，还没等她想出来，答案就出现在了眼前。
“现在时间比较紧张，三分钟想不出来就直接看答案，你把答案思路过一遍。”超新星解释说。
“哦，这题是数学归纳法啊。”秦菲说。
按照第一小问的思路，当n＝2时结论成立。
然后是数学归纳法最重要的步骤：设n=k时结论成立，由此推出n=k+1时，结论也成立。
n=2时：|x1+x2|≤|x1|+|x2|
n=k时：|x1+x2+···+xk|≤|x1|+|x2|+···+|xk|
n=k+1时：|x1+x2+···+x_k+1|≤|x1|+|x2|+···+|x_k+1|
∵|x1+x2|≤|x1|+|x2|，|x1+x2+···+xk|≤|x1|+|x2|+···+|xk|
∴|x1+x2+···+x_k+1|≤|x1+x2+···+xk|+|x_k+1|≤|x1|+|x2|+···+|xk|+|x_k+1|
“这样看这题其实是非常简单的。”秦菲说。
“按内容来说这个第一章其实应该是第零章，里面几乎没什么考点，只是一个过渡。”超新星说。
“嗯嗯。”第三小问的证明套用了第一小问的结论，也没什么难度。
“别高兴太早，后面二十多章呢。”超新星提醒道。
合着现在是黑夜前的黄昏呗，秦菲说：“行吧，那看看高代第一章。”
【超新星任务4-1：阅读《高等代数》第一章多项式。】
“三十多面，十一个小节，有点多啊。”秦菲的心里咚咚咚打起了鼓。
“别怕，高等代数只有十章，第十章还基本没考过。”超新星说。
“行，相信你。”
数域这个概念并不难理解，包含0和1，对四则运算封闭，字母C代表的是全体复数组成的数域。
第二节：一元多项式。
∂（f(x)）：多项式f(x)的次数（零多项式不定义次数）。
P[x]：所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，数域P是P[x]的系数域。
虽然秦菲不知道多项式怎么就成了环了，但对于这种基础概念，她也只能先记再说。
第三节：整除的概念。
g(x)|f(x)：表示g(x)整除f(x)，g(x)称为f(x)的因式，f(x)称为g(x)的倍式。
注：带余除法中g(x)必须不为零，但g(x)|f(x)中g(x)可以为0。
g(x)†f(x)：表示g(x)不能整除f(x)。
第四节：最大公因式。
d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)
注：d(x)是P[x]中任意两个多项式f(x)，g(x)的最大公因式；d(x)，u(x)，v(x)∈P[x]。
“等下，这个等式怎么看起来这么别扭？d(x)是最大公因式，∂（d(x)）≤min（∂（f(x)），∂（g(x)）），那u(x)和v(x)也是多项式，这次数不就乱套了吗？”
“有没有一种可能，有负号这种存在呢？”
“好像是哦，但是我觉得中间这个加号很有迷惑性，写成d(x)=u(x)f(x)-v(x)g(x)明明更直观。”
“都行。”
秦菲看了书上的推导过程，发现原来这是通过辗转相除法逆推代入得到的组合形式，秦菲对这个方法的印象还停留在求最大公约数的阶段。
最大公约数，最大公因式，这好像是一个道理，没毛病。
（f(x)，g(x)）：首项系数是1的那个最大公因式。
“首项系数是哪一项啊？”秦菲傻乎乎地问。
“最高次项，n次多项式你就找x的n次方那一项的系数。”
“哦哦，记住了。”首项就是最高次项。
第五节：因式分解定理。
“方幂是什么意思啊？”秦菲问。
“将一个多项式表示成x+2的方幂形式，f(x)=a(x+2)^2+b(x+2)^3+c，就这种。”超新星举了一个例子。
“懂了。”
第六节：重因式。
微商：即导数。
第七节：多项式函数。
余数定理：用一次多项式x-α去除多项式f(x)，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f(α)。
定理9：如果多项式f(x)，g(x)的次数都不超过n，而它们对n+1个不同的数有相同的值，那么f(x)=g(x)。
“感觉不是很好理解。”
“反证，如果f与g不相等，那么f-g这个次数不超过n的多项式是不可能有n+1个根的，矛盾，则f=g。”
“反证法是真的牛。”
第八节：复系数与实系数多项式的因式分解。
代数基本定理（复数域）：每个次数≥1的复系数多项式在复数域中有一根。
复系数多项式因式分解定理：每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积。
共轭数：两复数实部和虚部的值相等，虚部符号相反。（例：z=x+iy，z*=x-iy）
实系数多项式因式分解定理：每个次数≥1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积。
R（实数域）⊆C（复数域）。
电子竞技像是人生的缩影，时时刻刻都在提醒人们它的残酷，今年世界赛之后，她支持的选手会退役吗？
秦菲不知道。
那她自己呢？
支持的队伍，支持的选手，喜欢的角色，大家终究都只是彼此的过客，秦菲在游戏或是竞技赛事上花再多的时间，最后都是要回归自己的生活，还好，系统给她找了个目标，她不必为自己要走哪条路过多纠结。
从这个角度看，这个新系统还算是有点正面作用。
等秦菲过完游戏日常，时针已经过了数字“10”，她一看自由时间只有不到17个小时，懒懒地叫系统开任务。
“怎么只有昨天的任务？”秦菲问。
“只有完成前一天的任务才能开启下一天的。”超新星说。
“好吧，那先来点数学分析。”秦菲说。
【超新星任务3-1：阅读《数学分析》第一章变量和函数。】
“三小节，21面，感觉也不是很多嘛。”信心满满的秦菲开始了自己的数学分析之旅。
y=f（x），y是x的像，x是y的逆像。
狄利克雷（Dirichlet）函数：x为有理数，y=1；x为无理数，y=0。
狄利克雷函数是偶函数，是没有最小正周期的周期函数。
大抵因为是开篇，第一章都是十分基础的概念。
“灰色的部分不用看，看黑色的部分就好。”超新星说。
黑色的部分只有一题，这一题的内容是三道互有关联的绝对值不等式证明。
（1）|x-y|≥||x|-|y||
（2）|x1+x2+···+xn|≤|x1|+|x2|+···+|xn|
（3）|x+x1+x2+···+xn|≥|x|-（|x1|+···+|xn|）
第一小问通过两边同时平方可以轻松解决，第二问秦菲直觉不难，应该是有某种规律，还没等她想出来，答案就出现在了眼前。
“现在时间比较紧张，三分钟想不出来就直接看答案，你把答案思路过一遍。”超新星解释说。
“哦，这题是数学归纳法啊。”秦菲说。
按照第一小问的思路，当n＝2时结论成立。
然后是数学归纳法最重要的步骤：设n=k时结论成立，由此推出n=k+1时，结论也成立。
n=2时：|x1+x2|≤|x1|+|x2|
n=k时：|x1+x2+···+xk|≤|x1|+|x2|+···+|xk|
n=k+1时：|x1+x2+···+x_k+1|≤|x1|+|x2|+···+|x_k+1|
∵|x1+x2|≤|x1|+|x2|，|x1+x2+···+xk|≤|x1|+|x2|+···+|xk|
∴|x1+x2+···+x_k+1|≤|x1+x2+···+xk|+|x_k+1|≤|x1|+|x2|+···+|xk|+|x_k+1|
“这样看这题其实是非常简单的。”秦菲说。
“按内容来说这个第一章其实应该是第零章，里面几乎没什么考点，只是一个过渡。”超新星说。
“嗯嗯。”第三小问的证明套用了第一小问的结论，也没什么难度。
“别高兴太早，后面二十多章呢。”超新星提醒道。
合着现在是黑夜前的黄昏呗，秦菲说：“行吧，那看看高代第一章。”
【超新星任务4-1：阅读《高等代数》第一章多项式。】
“三十多面，十一个小节，有点多啊。”秦菲的心里咚咚咚打起了鼓。
“别怕，高等代数只有十章，第十章还基本没考过。”超新星说。
“行，相信你。”
数域这个概念并不难理解，包含0和1，对四则运算封闭，字母C代表的是全体复数组成的数域。
第二节：一元多项式。
∂（f(x)）：多项式f(x)的次数（零多项式不定义次数）。
P[x]：所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，数域P是P[x]的系数域。
虽然秦菲不知道多项式怎么就成了环了，但对于这种基础概念，她也只能先记再说。
第三节：整除的概念。
g(x)|f(x)：表示g(x)整除f(x)，g(x)称为f(x)的因式，f(x)称为g(x)的倍式。
注：带余除法中g(x)必须不为零，但g(x)|f(x)中g(x)可以为0。
g(x)†f(x)：表示g(x)不能整除f(x)。
第四节：最大公因式。
d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)
注：d(x)是P[x]中任意两个多项式f(x)，g(x)的最大公因式；d(x)，u(x)，v(x)∈P[x]。
“等下，这个等式怎么看起来这么别扭？d(x)是最大公因式，∂（d(x)）≤min（∂（f(x)），∂（g(x)）），那u(x)和v(x)也是多项式，这次数不就乱套了吗？”
“有没有一种可能，有负号这种存在呢？”
“好像是哦，但是我觉得中间这个加号很有迷惑性，写成d(x)=u(x)f(x)-v(x)g(x)明明更直观。”
“都行。”
秦菲看了书上的推导过程，发现原来这是通过辗转相除法逆推代入得到的组合形式，秦菲对这个方法的印象还停留在求最大公约数的阶段。
最大公约数，最大公因式，这好像是一个道理，没毛病。
（f(x)，g(x)）：首项系数是1的那个最大公因式。
“首项系数是哪一项啊？”秦菲傻乎乎地问。
“最高次项，n次多项式你就找x的n次方那一项的系数。”
“哦哦，记住了。”首项就是最高次项。
第五节：因式分解定理。
“方幂是什么意思啊？”秦菲问。
“将一个多项式表示成x+2的方幂形式，f(x)=a(x+2)^2+b(x+2)^3+c，就这种。”超新星举了一个例子。
“懂了。”
第六节：重因式。
微商：即导数。
第七节：多项式函数。
余数定理：用一次多项式x-α去除多项式f(x)，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f(α)。
定理9：如果多项式f(x)，g(x)的次数都不超过n，而它们对n+1个不同的数有相同的值，那么f(x)=g(x)。
“感觉不是很好理解。”
“反证，如果f与g不相等，那么f-g这个次数不超过n的多项式是不可能有n+1个根的，矛盾，则f=g。”
“反证法是真的牛。”
第八节：复系数与实系数多项式的因式分解。
代数基本定理（复数域）：每个次数≥1的复系数多项式在复数域中有一根。
复系数多项式因式分解定理：每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积。
共轭数：两复数实部和虚部的值相等，虚部符号相反。（例：z=x+iy，z*=x-iy）
实系数多项式因式分解定理：每个次数≥1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积。
R（实数域）⊆C（复数域）。
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