第二十四章 我还在绕
在吃腻了自己做的冒烤鸭后，秦菲打算换换口味，点了个辣拌手撕鸭外卖。
覆盖着红油的烤鸭被撕成薄薄的数片，秦菲先是单独吃了一片，而后将鸭子放在米饭上，莹白的米粒沾上调味适度的红油辣椒，入口颇有风味。
秦菲三口两口消灭掉上面的一层，待她想让米饭和着鸭肉一起吃，却发现下面都是骨头，她只好放弃原来的想法，将米饭放在一边，细细地用唇齿消灭这些骨头上薄薄的一层肉。
外卖的小心思一家比一家多，这家味道不错，秦菲在经历过几家又贵又不好吃的冒烤鸭外卖后对这次的手撕鸭还算满意，她将米饭盒子里的饭盛出放在冰箱里，再把空盒子们集中在一起放在进门处以便下次出门时丢掉。
秦菲揉揉肚子，往书桌方向的脚步一顿，想了想还是去厨房补了三个大橘子。
好吃是真的好吃，分量也是真的少。
关上小道消息不断的大红眼和倒浪APP，秦菲打开水龙头，用浸湿的纸巾擦去手腕处蹭上的橘子汁，冬天本应是苹果的季节，但自从那场突如其来的大侵袭将她喜欢的卖苹果宝藏店铺的动态永远定格后，她就不怎么吃苹果了。
这次买的大丑橘的青色外皮下是复杂的白色经络和晶莹剔透的橙色橘瓣，和普通橘子相比，它完全不酸，秦菲贪口，将橘子一瓣瓣剥开，那被经络包裹着的晶莹剔透的橙色果肉送入口中，她终于觅得一丝甜蜜。
【超新星任务4-2详情：复习《高等代数》第一章多项式并完成课后习题。】
“边做题边复习吧。”秦菲想到那些绕来绕去的多项式，脑袋都大了。
Q1：g(x)=3x^2-2x+1，f(x)=x^3-3x^2-x+1，用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)。
“简单的计算，q(x)是x/3-7/9，r(x)是-2x-2/9。”
“很高兴你的计算能力并没有完全消失，商式是对的，余式你再看看。”
“有个正负号看错了，余式应该是26x/9-2/9。”
“你的确有个正负号看错了。”
“我的，-26x/9-2/9，这次肯定对了。”秦菲有些尴尬，这错太低级了。
Q2：m，p，q满足什么条件时，有x^2+mx+1|x^3+px+q？
“这个也简单，同时满足p+1=m^2和q=m这两个条件。”
“......正负号。”
“p+1+m^2=0，不好意思，又看岔了。”
Q3：g(x)=x^4-4√2*x^3+6x^2+4√2*x+1，f(x)=x^4-103x^2+1，求g(x)与f(x)的最大公因式。
“辗转相除，根号的存在虽然让计算的过程繁琐了一些，但是这次我很有信心做对，最大公因式就是-x^2+2√2x*+1。”秦菲答。
“很棒，答案正确。”
Q4：g(x)=x^4+2x^3-x^2-4x-2，f(x)=x^4+x^3-x^2x-2，求u(x)，v(x)，使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=（f(x)，g(x)）。
“首先计算出（f(x)，g(x)）=x^2-2，q1(x)=1，q2(x)=-x-2，q3(x)=-x。”秦菲翻到书上的第一章第四小节照葫芦画瓢，“然后用等式写出来，就是——”
f(x)=q1(x)g(x)+r1(x)
即：x^4+x^3-x^2x-2=1*x^4+2x^3-x^2-4x-2-x^3+2x
g(x)=q2(x)r1(x)+r2(x)
即：x^4+2x^3-x^2-4x-2=(x+2)(x^3-2x)+x^2-2
r1(x)=q3(x)r2(x)
即：-x^3+2x=-x(x^2-2)
由上式，有：
r2(x)=g(x)-q2(x)r1(x)
=g(x)-q2(x)[f(x)-q1(x)g(x)]
=-q2(x)f(x)+[1+q2(x)q1(x)]g(x)
将q1(x)=1和q2(x)=-x-2代入上式可得：
r2(x)=(x+2)f(x)-(x+1)g(x)
即u(x)=(x+2)，v(x)=-(x+1)。
“这次没算错吧。”秦菲检查了好几遍才提交。
“没问题，下一题。”
Q5：证明：如果d(x)|f(x)，d(x)|g(x)，且d(x)为f(x)与g(x)的一个组合，那么d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。
“一眼反证法。”秦菲开始构思。
设d(x)不是f(x)与g(x)的一个最大公因式。
如果不是最大公因式会有什么条件不能满足？
设h(x)|f(x)，h(x)|g(x)，h(x)不是d(x)的因式。
h(x)的存在会和题目中的哪些条件矛盾？
d(x)为f(x)与g(x)的一个组合，显然，一定是这一句。
∵d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)
f(x)=h(x)q1(x)
g(x)=h(x)q2(x)
∴d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)=[u(x)q1(x)+v(x)q2(x)]h(x)
h(x)是d(x)的因式，矛盾。
按照书上的定义，d(x)是f(x)与g(x)的公因式，f(x)与g(x)的公因式全是d(x)的因式，可推d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。
“思路正确，如果h(x)是f(x)与g(x)的一个公因式，那么h(x)可以整除是f(x)与g(x)的任一个组合，所以h(x)可以整除d(x)，因此，根据书上的定义，d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。”超新星进行了一个简短的总结，“下一题依然是证明。”
Q7：如果f(x)，g(x)不全为零，证明：（f(x)/（f(x)，g(x)），g(x)/（f(x)，g(x)）=1。
“这题......”秦菲思考片刻便开始动笔。
设（f(x)，g(x)）=h(x)。
①若h(x)=1。
f(x)与g(x)互素，则（f(x)/（f(x)，g(x)），g(x)/（f(x)，g(x)）=（f(x)，g(x)）=1。
①若h(x)≠1。
设h(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)，则f(x)=（h(x)-v(x)g(x)）/u(x)。
那么（f(x)/（f(x)，g(x)），g(x)/（f(x)，g(x)）=（f(x)/（u(x)f(x)+v(x)g(x)），g(x)/（u(x)f(x)+v(x)g(x)）。
设d(x)=（f(x)/（f(x)，g(x)），g(x)/（f(x)，g(x)）。
则d(x)可以表示为（u1(x)f(x)+v1(x)g(x)）/（u(x)f(x)+v(x)g(x)）。
将f(x)=（h(x)-v(x)g(x)）/u(x)代入上式可得：
d(x)=（u1(x)f(x)+v1(x)g(x)）/h(x)。
因为u1(x)f(x)+v1(x)g(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。
所以d(x)=C，C是非零常数。
“非零常数，这个数好像不一定是1啊，现在要怎么办？”秦菲挠挠头。
“你想的也太复杂了。”超新星给出的答案十分简洁。
因为（f(x)，g(x)）=u(x)f(x)+v(x)g(x)
有u(x)f(x)/（f(x)，g(x)）+v(x)f(x)/（f(x)，g(x)）=1
则f(x)/（f(x)，g(x)）与f(x)/（f(x)，g(x)）互素，即（f(x)/（f(x)，g(x)），g(x)/（f(x)，g(x)）=1。
“这样确实更简单，这边答案都写完了，那边我还在绕，结果还没绕回来，也是醉了。”
“多看看书上的定理，下一题。”
Q8：求多项式f(x)=x^3+2x^2+2x+1，g(x)=x^4+x^3+2x^2+x+1的公共根。
“两个整系数多项式，首项系数都是1，常数项也都是1，把±1代入，f(x)的根是-1，g(x)无实根，公共根没有，我算错了？”秦菲不解。
“这个题目没有限定在整数域或者有理数域上，所以复数域是要考虑的。”
“好的，那我先求一下（f(x)，g(x)）。”
通过辗转相除法，得（f(x)，g(x)）=x^2+x+1，则复根为-(1+√3i)/2和-(1-√3i)/2。
“正确的，下一题。”
Q9：f(x)=x^5-5x^4+7x^3-2x^2+4x-8，请判断该多项式有无重因式。
“按照书上的定理，如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式（k≥1），那么它是微商f’(x)的k-1重因式。”
f’(x)=5x^4-20x^3+21x^2-4x+4
秦菲本来想着算一下（f(x)，f’(x)），根据最大公因式来进行判断，然而，当她连续两次算到一些离谱的数字时，果断选择了求助系统。
“就是按这个思路。”超新星肯定地说。
“行，我再算算好了。”
秦菲在平板上写下一行行数字又擦去，擦去又重写，超新星没有催她，秦菲也不管时间如何，耐心的一次次重算。
终于，在近四十分钟的计算后，同时约去49，秦菲终于得到了f(x)与f’(x)的首项系数为1的最大公因式：x^2-4x+4，即（x-2）^2，根据定理，（x-2）是微商f’(x)的2重因式，那么（x-2）就是f(x)的3重因式。
“希望考场上别出现这种题。”秦菲默默祈祷。
“休息一下。”超新星暂停了任务，提醒秦菲看一下时间。
“九点了？！”秦菲大为惊诧，她好像也没学什么吧。
覆盖着红油的烤鸭被撕成薄薄的数片，秦菲先是单独吃了一片，而后将鸭子放在米饭上，莹白的米粒沾上调味适度的红油辣椒，入口颇有风味。
秦菲三口两口消灭掉上面的一层，待她想让米饭和着鸭肉一起吃，却发现下面都是骨头，她只好放弃原来的想法，将米饭放在一边，细细地用唇齿消灭这些骨头上薄薄的一层肉。
外卖的小心思一家比一家多，这家味道不错，秦菲在经历过几家又贵又不好吃的冒烤鸭外卖后对这次的手撕鸭还算满意，她将米饭盒子里的饭盛出放在冰箱里，再把空盒子们集中在一起放在进门处以便下次出门时丢掉。
秦菲揉揉肚子，往书桌方向的脚步一顿，想了想还是去厨房补了三个大橘子。
好吃是真的好吃，分量也是真的少。
关上小道消息不断的大红眼和倒浪APP，秦菲打开水龙头，用浸湿的纸巾擦去手腕处蹭上的橘子汁，冬天本应是苹果的季节，但自从那场突如其来的大侵袭将她喜欢的卖苹果宝藏店铺的动态永远定格后，她就不怎么吃苹果了。
这次买的大丑橘的青色外皮下是复杂的白色经络和晶莹剔透的橙色橘瓣，和普通橘子相比，它完全不酸，秦菲贪口，将橘子一瓣瓣剥开，那被经络包裹着的晶莹剔透的橙色果肉送入口中，她终于觅得一丝甜蜜。
【超新星任务4-2详情：复习《高等代数》第一章多项式并完成课后习题。】
“边做题边复习吧。”秦菲想到那些绕来绕去的多项式，脑袋都大了。
Q1：g(x)=3x^2-2x+1，f(x)=x^3-3x^2-x+1，用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)。
“简单的计算，q(x)是x/3-7/9，r(x)是-2x-2/9。”
“很高兴你的计算能力并没有完全消失，商式是对的，余式你再看看。”
“有个正负号看错了，余式应该是26x/9-2/9。”
“你的确有个正负号看错了。”
“我的，-26x/9-2/9，这次肯定对了。”秦菲有些尴尬，这错太低级了。
Q2：m，p，q满足什么条件时，有x^2+mx+1|x^3+px+q？
“这个也简单，同时满足p+1=m^2和q=m这两个条件。”
“......正负号。”
“p+1+m^2=0，不好意思，又看岔了。”
Q3：g(x)=x^4-4√2*x^3+6x^2+4√2*x+1，f(x)=x^4-103x^2+1，求g(x)与f(x)的最大公因式。
“辗转相除，根号的存在虽然让计算的过程繁琐了一些，但是这次我很有信心做对，最大公因式就是-x^2+2√2x*+1。”秦菲答。
“很棒，答案正确。”
Q4：g(x)=x^4+2x^3-x^2-4x-2，f(x)=x^4+x^3-x^2x-2，求u(x)，v(x)，使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=（f(x)，g(x)）。
“首先计算出（f(x)，g(x)）=x^2-2，q1(x)=1，q2(x)=-x-2，q3(x)=-x。”秦菲翻到书上的第一章第四小节照葫芦画瓢，“然后用等式写出来，就是——”
f(x)=q1(x)g(x)+r1(x)
即：x^4+x^3-x^2x-2=1*x^4+2x^3-x^2-4x-2-x^3+2x
g(x)=q2(x)r1(x)+r2(x)
即：x^4+2x^3-x^2-4x-2=(x+2)(x^3-2x)+x^2-2
r1(x)=q3(x)r2(x)
即：-x^3+2x=-x(x^2-2)
由上式，有：
r2(x)=g(x)-q2(x)r1(x)
=g(x)-q2(x)[f(x)-q1(x)g(x)]
=-q2(x)f(x)+[1+q2(x)q1(x)]g(x)
将q1(x)=1和q2(x)=-x-2代入上式可得：
r2(x)=(x+2)f(x)-(x+1)g(x)
即u(x)=(x+2)，v(x)=-(x+1)。
“这次没算错吧。”秦菲检查了好几遍才提交。
“没问题，下一题。”
Q5：证明：如果d(x)|f(x)，d(x)|g(x)，且d(x)为f(x)与g(x)的一个组合，那么d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。
“一眼反证法。”秦菲开始构思。
设d(x)不是f(x)与g(x)的一个最大公因式。
如果不是最大公因式会有什么条件不能满足？
设h(x)|f(x)，h(x)|g(x)，h(x)不是d(x)的因式。
h(x)的存在会和题目中的哪些条件矛盾？
d(x)为f(x)与g(x)的一个组合，显然，一定是这一句。
∵d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)
f(x)=h(x)q1(x)
g(x)=h(x)q2(x)
∴d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)=[u(x)q1(x)+v(x)q2(x)]h(x)
h(x)是d(x)的因式，矛盾。
按照书上的定义，d(x)是f(x)与g(x)的公因式，f(x)与g(x)的公因式全是d(x)的因式，可推d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。
“思路正确，如果h(x)是f(x)与g(x)的一个公因式，那么h(x)可以整除是f(x)与g(x)的任一个组合，所以h(x)可以整除d(x)，因此，根据书上的定义，d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。”超新星进行了一个简短的总结，“下一题依然是证明。”
Q7：如果f(x)，g(x)不全为零，证明：（f(x)/（f(x)，g(x)），g(x)/（f(x)，g(x)）=1。
“这题......”秦菲思考片刻便开始动笔。
设（f(x)，g(x)）=h(x)。
①若h(x)=1。
f(x)与g(x)互素，则（f(x)/（f(x)，g(x)），g(x)/（f(x)，g(x)）=（f(x)，g(x)）=1。
①若h(x)≠1。
设h(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)，则f(x)=（h(x)-v(x)g(x)）/u(x)。
那么（f(x)/（f(x)，g(x)），g(x)/（f(x)，g(x)）=（f(x)/（u(x)f(x)+v(x)g(x)），g(x)/（u(x)f(x)+v(x)g(x)）。
设d(x)=（f(x)/（f(x)，g(x)），g(x)/（f(x)，g(x)）。
则d(x)可以表示为（u1(x)f(x)+v1(x)g(x)）/（u(x)f(x)+v(x)g(x)）。
将f(x)=（h(x)-v(x)g(x)）/u(x)代入上式可得：
d(x)=（u1(x)f(x)+v1(x)g(x)）/h(x)。
因为u1(x)f(x)+v1(x)g(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。
所以d(x)=C，C是非零常数。
“非零常数，这个数好像不一定是1啊，现在要怎么办？”秦菲挠挠头。
“你想的也太复杂了。”超新星给出的答案十分简洁。
因为（f(x)，g(x)）=u(x)f(x)+v(x)g(x)
有u(x)f(x)/（f(x)，g(x)）+v(x)f(x)/（f(x)，g(x)）=1
则f(x)/（f(x)，g(x)）与f(x)/（f(x)，g(x)）互素，即（f(x)/（f(x)，g(x)），g(x)/（f(x)，g(x)）=1。
“这样确实更简单，这边答案都写完了，那边我还在绕，结果还没绕回来，也是醉了。”
“多看看书上的定理，下一题。”
Q8：求多项式f(x)=x^3+2x^2+2x+1，g(x)=x^4+x^3+2x^2+x+1的公共根。
“两个整系数多项式，首项系数都是1，常数项也都是1，把±1代入，f(x)的根是-1，g(x)无实根，公共根没有，我算错了？”秦菲不解。
“这个题目没有限定在整数域或者有理数域上，所以复数域是要考虑的。”
“好的，那我先求一下（f(x)，g(x)）。”
通过辗转相除法，得（f(x)，g(x)）=x^2+x+1，则复根为-(1+√3i)/2和-(1-√3i)/2。
“正确的，下一题。”
Q9：f(x)=x^5-5x^4+7x^3-2x^2+4x-8，请判断该多项式有无重因式。
“按照书上的定理，如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式（k≥1），那么它是微商f’(x)的k-1重因式。”
f’(x)=5x^4-20x^3+21x^2-4x+4
秦菲本来想着算一下（f(x)，f’(x)），根据最大公因式来进行判断，然而，当她连续两次算到一些离谱的数字时，果断选择了求助系统。
“就是按这个思路。”超新星肯定地说。
“行，我再算算好了。”
秦菲在平板上写下一行行数字又擦去，擦去又重写，超新星没有催她，秦菲也不管时间如何，耐心的一次次重算。
终于，在近四十分钟的计算后，同时约去49，秦菲终于得到了f(x)与f’(x)的首项系数为1的最大公因式：x^2-4x+4，即（x-2）^2，根据定理，（x-2）是微商f’(x)的2重因式，那么（x-2）就是f(x)的3重因式。
“希望考场上别出现这种题。”秦菲默默祈祷。
“休息一下。”超新星暂停了任务，提醒秦菲看一下时间。
“九点了？！”秦菲大为惊诧，她好像也没学什么吧。
转码声明：以上内容基于搜索引擎转码技术对网站内容进行转码阅读，自身不保存任何数据，请您支持正版