第三十三章 极限和连续
22分06秒，第三章第五道错题。
“人类最基本的实践活动怎么会是交往呢？”超新星问。
“嗯，这个，好像不是交往。”
“那是什么？”
“是......不知道。”
“物质生产实践，实践三大类，科学文化，还有一个是社会政治，下一题。”
25分36秒，第三章第六道错题。
“是个因素就是重要因素，人口因素是重要的社会物质生活条件，为什么不选？”
“我看成最重要了，不好意思。”
“行吧，这也不是第一次了。”
30分22秒，第三章第七道错题。
“当上层建筑为适合生产力发展要求的经济基础服务时，它推动社会进步发展，反之，当它为落后的经济基础服务时，它就成为阻碍社会发展的消极力量，并不是只要它为自己的经济基础发展，就是推动社会进步。”
“主要还是看生产力。”秦菲说。
“没错。”
34分47秒，第三章第八道错题。
“社会历史存在和发展的前提是现实的人及其活动，正不正确认识历史发展方向，并不是社会历史存在和发展的前提。”
37分09秒，第三章第九道错题。
“人的本质不是单个人所固有的抽象物，那是所有的人抽象出来的吗？”秦菲问。
“都不是，人本质是社会属性，不是自然属性，人的本质不是从所有的个体的人身上抽象出的共同性，它和社会关系一样是变化的、发展的，并不是永恒不变的。”
“做完了，终于做完了。”看着自己的剩余自由时间从二十分钟变成十六个小时，秦菲长舒一口气。
“80%出头的正确率，有待提高。”超新星问，“接下来是数学分析还是高等代数？”
“哪个内容少一点？”
“数学分析第二章四个小节，高等代数第二章八个小节。”
“那就数学分析。”
【超新星任务5-1：阅读《数学分析》第二章极限和连续。】
【超新星任务5-1详情：第二章极限和连续共四小节。】
数学分析第二章第一节，数列极限。
数列极限定义：∀ε>0，∃N∈N*，当n>N，|xn-a|<ε，称a是数列{xn}的极限，或称数列{xn}收敛于a，记为lim（x→∞）xn=a或xn→a（n→∞）。
定理5：单调有界数列必收敛。
“极限，无穷小量和无穷大量，这节好像也没讲什么别的？做题吧。”
【超新星任务5-1：完成《数学分析》第二章极限和连续课后习题。】
Q1：求极限，lim（n→∞）[（sinn！）（（n-1）/（n²+1））^10-（1/（1·2）+1/（2`3）+...+1/（（n-1）n））（2n²+1）/（n²-1）]。
“看着挺复杂，（sinn！）（（n-1）/（n²+1））^10是无穷小量，右边分式拆开就是1，乘以2，加上负号答案就是-2。”秦菲没有被复杂的题面吓住，慢慢分析起来。
“没错，下一题。”
Q2：若lim（n→∞）xn=a，证明lim（n→∞）（x1+x2+...+xn）/n=a。
“因为lim（n→∞）xn=a，则有∀ε>0，∃N∈N*，当n>N，|xn-a|<ε，以N为界将分子分开。”
lim（n→∞）（x1+x2+...+xn）/n=lim（n→∞）[（x1+x2+...+xN）+（x_N+1+...+xn）]/n。
“这两部分的话，然后——”秦菲注意到前面有一处需要修改，“|xn-a|<ε/2，这里改小一点，方便证明。”
|[（x1+x2+...+xN）-Na+（x_N+1+...+xn）-（n-N）a]|/n≤[|x1-a|+|x2-a|+...+|xN-a|）+（|x_N+1-a|+...+|xn-a|]|/n<[|x1-a|+|x2-a|+...+|xN-a|）]/n+（n-N）ε/2n
“这个时候希望前N项除以n是无穷小量，则设M=max{|x1-a|，|x2-a|，...，|xN-a|}，然后就有[|x1-a|+|x2-a|+...+|xN-a|）]/n≤NM/n，因为N和M都是定值，当n趋于无穷，这一项极限自然是0。”秦菲说，“∀ε>0，∃N1=max[N，2MN/ε]∈Z+，这里的2MN/ε是来自NM/n必须要小于ε/2这个条件，有[（x1+x2+...+xn）/n-a]＜ε，即lim（n→∞）（x1+x2+...+xn）/n=a。”
“下一题是差不多的类型。”
Q3：若lim（n→∞）an=a，lim（n→∞）bn=b，证明lim（n→∞）（a1bn+a2b_n-1+...+anb1）/n=ab。
“先把条件列出来。”秦菲说。
lim（n→∞）an=a⇒∀ε>0，∃N1∈N*，当n>N1，|an-a|<ε。
lim（n→∞）bn=b⇒∀ε>0，∃N2∈N*，当n>N2，|bn-b|<ε。
“然后根据上一题的结论有——”
lim（n→∞）（a1+a2+...+an）/n=a。
lim（n→∞）（b1+b2+...+bn）/n=b。
⇒lim（n→∞）（a1+a2+...+an）b/n=ab。
⇒lim（n→∞）（b1+b2+...+bn）a/n=ab。
“.......提示一下。”条件太多，思路很乱，秦菲不知道该怎么写。
“思路是对的，用已经得到的条件，放大。”
“放大对吧，我试试。”
|a1bn+a2b_n-1+...+anb1-（b1+b2+...+bn）a|/n≤|（a1-a）bn+（a2-a）b_n-1+...+（aN1-a）b_(n+1-N1)|/n+|（a_(N1+1)-a）b_(n-N1)+...+（an-a）b1|/n
设|bn-b|≤M1，|an-a|≤M2。
|（a1-a）bn+（a2-a）b_n-1+...+（aN1-a）b_(n+1-N1)|/n+|（a_(N1+1)-a）b_(n-N1)+...+（an-a）b1|/n≤（|bn|+|b_n-1|+...+|b_(n+1-N1)|）M2/n+（|b1|+|b2|+...+|b_(n-N1)|）ε/n。
当n＞N1+N2。
（|bn|+|b_n-1|+...+|b_(n+1-N1)|）M2/n+（|b1|+|b2|+...+|b_(n-N1)|）ε/n
取N3=max{N1+N2，[N1M2/ε+（n-N1）（|b|+M1）]}，当n＞N3，有|a1bn+a2b_n-1+...+anb1-（b1+b2+...+bn）a|/n<ε。
“好复杂啊......”这些秦菲自己写下的乱七八糟的符号，此时若是要指出某一处为什么是这个结果，她本人大概也要思考一会儿才能回答。
“没关系，这么简单的题目是不会考的。”
“我也觉得，”
午饭是洋葱胡萝卜炒年糕配饭，本来是剩菜大集合，没想到还有意外收获。
“不错啊，洋葱是非常非常好的食物和调味品。”秦菲在采购清单上又加了一行。
午睡，采购，清洁......学习第一节获得的5个小时自由时间使用过半，第二节函数极限三点开学。
数学分析第二章第二节，函数极限。
函数在x0点的极限定义：设函数f(x)在U0(x0)有定义，∀ε>0，∃δ>0，当0<|x-x0|<δ时，|f(x)-f(x0)|<ε，则lim（x→x0）f(x)=f(x0)，或记为f(x)→f(x0)（x→x0）。
两个常用不等式：
①∀x，|sinx|≤|x|；
②当x∈（-Π/2，Π/2），|x|≤|tanx|；
两个重要极限：
①lim（x→0）|sinx/x|=1；
②lim（x→∞）（1+1/x）^x=e。
“这一节看起来也是比较基础的，看看题。”秦菲说。
Q1：求下列极限。
（1）lim（x→0）（sin2x-sin3x）/x；
“稍等，我查一下和差化积的公式。”秦菲把笔记往前面翻。
sinA-sinB=2cos[（A+B）/2]*sin[（A-B）/2]
lim（x→0）（sin2x-sin3x）/x=lim（x→0）-2（cos（5x/2）*sin（x/2））/x=lim（x→0）-cos（5x/2）=-1
“正确的，下一题。”
（2）lim（h→0）（cos(x+h)-cosx）/h；
“这个....我也要找一下公式。”这是考求极限吗？这明明考的是积化和差。
cosA-cosB=-2sin[（A+B）/2]*sin[（A-B）/2]
lim（h→0）（cos(x+h)-cosx）/h=lim（h→0）-2sin[（2x+h）/2]*sin[h/2]/h=lim（h→0）-sin[（2x+h）/2][sin(h/2)/(h/2)]=-sinx
“正确，下一题。”
“人类最基本的实践活动怎么会是交往呢？”超新星问。
“嗯，这个，好像不是交往。”
“那是什么？”
“是......不知道。”
“物质生产实践，实践三大类，科学文化，还有一个是社会政治，下一题。”
25分36秒，第三章第六道错题。
“是个因素就是重要因素，人口因素是重要的社会物质生活条件，为什么不选？”
“我看成最重要了，不好意思。”
“行吧，这也不是第一次了。”
30分22秒，第三章第七道错题。
“当上层建筑为适合生产力发展要求的经济基础服务时，它推动社会进步发展，反之，当它为落后的经济基础服务时，它就成为阻碍社会发展的消极力量，并不是只要它为自己的经济基础发展，就是推动社会进步。”
“主要还是看生产力。”秦菲说。
“没错。”
34分47秒，第三章第八道错题。
“社会历史存在和发展的前提是现实的人及其活动，正不正确认识历史发展方向，并不是社会历史存在和发展的前提。”
37分09秒，第三章第九道错题。
“人的本质不是单个人所固有的抽象物，那是所有的人抽象出来的吗？”秦菲问。
“都不是，人本质是社会属性，不是自然属性，人的本质不是从所有的个体的人身上抽象出的共同性，它和社会关系一样是变化的、发展的，并不是永恒不变的。”
“做完了，终于做完了。”看着自己的剩余自由时间从二十分钟变成十六个小时，秦菲长舒一口气。
“80%出头的正确率，有待提高。”超新星问，“接下来是数学分析还是高等代数？”
“哪个内容少一点？”
“数学分析第二章四个小节，高等代数第二章八个小节。”
“那就数学分析。”
【超新星任务5-1：阅读《数学分析》第二章极限和连续。】
【超新星任务5-1详情：第二章极限和连续共四小节。】
数学分析第二章第一节，数列极限。
数列极限定义：∀ε>0，∃N∈N*，当n>N，|xn-a|<ε，称a是数列{xn}的极限，或称数列{xn}收敛于a，记为lim（x→∞）xn=a或xn→a（n→∞）。
定理5：单调有界数列必收敛。
“极限，无穷小量和无穷大量，这节好像也没讲什么别的？做题吧。”
【超新星任务5-1：完成《数学分析》第二章极限和连续课后习题。】
Q1：求极限，lim（n→∞）[（sinn！）（（n-1）/（n²+1））^10-（1/（1·2）+1/（2`3）+...+1/（（n-1）n））（2n²+1）/（n²-1）]。
“看着挺复杂，（sinn！）（（n-1）/（n²+1））^10是无穷小量，右边分式拆开就是1，乘以2，加上负号答案就是-2。”秦菲没有被复杂的题面吓住，慢慢分析起来。
“没错，下一题。”
Q2：若lim（n→∞）xn=a，证明lim（n→∞）（x1+x2+...+xn）/n=a。
“因为lim（n→∞）xn=a，则有∀ε>0，∃N∈N*，当n>N，|xn-a|<ε，以N为界将分子分开。”
lim（n→∞）（x1+x2+...+xn）/n=lim（n→∞）[（x1+x2+...+xN）+（x_N+1+...+xn）]/n。
“这两部分的话，然后——”秦菲注意到前面有一处需要修改，“|xn-a|<ε/2，这里改小一点，方便证明。”
|[（x1+x2+...+xN）-Na+（x_N+1+...+xn）-（n-N）a]|/n≤[|x1-a|+|x2-a|+...+|xN-a|）+（|x_N+1-a|+...+|xn-a|]|/n<[|x1-a|+|x2-a|+...+|xN-a|）]/n+（n-N）ε/2n
“这个时候希望前N项除以n是无穷小量，则设M=max{|x1-a|，|x2-a|，...，|xN-a|}，然后就有[|x1-a|+|x2-a|+...+|xN-a|）]/n≤NM/n，因为N和M都是定值，当n趋于无穷，这一项极限自然是0。”秦菲说，“∀ε>0，∃N1=max[N，2MN/ε]∈Z+，这里的2MN/ε是来自NM/n必须要小于ε/2这个条件，有[（x1+x2+...+xn）/n-a]＜ε，即lim（n→∞）（x1+x2+...+xn）/n=a。”
“下一题是差不多的类型。”
Q3：若lim（n→∞）an=a，lim（n→∞）bn=b，证明lim（n→∞）（a1bn+a2b_n-1+...+anb1）/n=ab。
“先把条件列出来。”秦菲说。
lim（n→∞）an=a⇒∀ε>0，∃N1∈N*，当n>N1，|an-a|<ε。
lim（n→∞）bn=b⇒∀ε>0，∃N2∈N*，当n>N2，|bn-b|<ε。
“然后根据上一题的结论有——”
lim（n→∞）（a1+a2+...+an）/n=a。
lim（n→∞）（b1+b2+...+bn）/n=b。
⇒lim（n→∞）（a1+a2+...+an）b/n=ab。
⇒lim（n→∞）（b1+b2+...+bn）a/n=ab。
“.......提示一下。”条件太多，思路很乱，秦菲不知道该怎么写。
“思路是对的，用已经得到的条件，放大。”
“放大对吧，我试试。”
|a1bn+a2b_n-1+...+anb1-（b1+b2+...+bn）a|/n≤|（a1-a）bn+（a2-a）b_n-1+...+（aN1-a）b_(n+1-N1)|/n+|（a_(N1+1)-a）b_(n-N1)+...+（an-a）b1|/n
设|bn-b|≤M1，|an-a|≤M2。
|（a1-a）bn+（a2-a）b_n-1+...+（aN1-a）b_(n+1-N1)|/n+|（a_(N1+1)-a）b_(n-N1)+...+（an-a）b1|/n≤（|bn|+|b_n-1|+...+|b_(n+1-N1)|）M2/n+（|b1|+|b2|+...+|b_(n-N1)|）ε/n。
当n＞N1+N2。
（|bn|+|b_n-1|+...+|b_(n+1-N1)|）M2/n+（|b1|+|b2|+...+|b_(n-N1)|）ε/n
取N3=max{N1+N2，[N1M2/ε+（n-N1）（|b|+M1）]}，当n＞N3，有|a1bn+a2b_n-1+...+anb1-（b1+b2+...+bn）a|/n<ε。
“好复杂啊......”这些秦菲自己写下的乱七八糟的符号，此时若是要指出某一处为什么是这个结果，她本人大概也要思考一会儿才能回答。
“没关系，这么简单的题目是不会考的。”
“我也觉得，”
午饭是洋葱胡萝卜炒年糕配饭，本来是剩菜大集合，没想到还有意外收获。
“不错啊，洋葱是非常非常好的食物和调味品。”秦菲在采购清单上又加了一行。
午睡，采购，清洁......学习第一节获得的5个小时自由时间使用过半，第二节函数极限三点开学。
数学分析第二章第二节，函数极限。
函数在x0点的极限定义：设函数f(x)在U0(x0)有定义，∀ε>0，∃δ>0，当0<|x-x0|<δ时，|f(x)-f(x0)|<ε，则lim（x→x0）f(x)=f(x0)，或记为f(x)→f(x0)（x→x0）。
两个常用不等式：
①∀x，|sinx|≤|x|；
②当x∈（-Π/2，Π/2），|x|≤|tanx|；
两个重要极限：
①lim（x→0）|sinx/x|=1；
②lim（x→∞）（1+1/x）^x=e。
“这一节看起来也是比较基础的，看看题。”秦菲说。
Q1：求下列极限。
（1）lim（x→0）（sin2x-sin3x）/x；
“稍等，我查一下和差化积的公式。”秦菲把笔记往前面翻。
sinA-sinB=2cos[（A+B）/2]*sin[（A-B）/2]
lim（x→0）（sin2x-sin3x）/x=lim（x→0）-2（cos（5x/2）*sin（x/2））/x=lim（x→0）-cos（5x/2）=-1
“正确的，下一题。”
（2）lim（h→0）（cos(x+h)-cosx）/h；
“这个....我也要找一下公式。”这是考求极限吗？这明明考的是积化和差。
cosA-cosB=-2sin[（A+B）/2]*sin[（A-B）/2]
lim（h→0）（cos(x+h)-cosx）/h=lim（h→0）-2sin[（2x+h）/2]*sin[h/2]/h=lim（h→0）-sin[（2x+h）/2][sin(h/2)/(h/2)]=-sinx
“正确，下一题。”
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