第12章 一气呵成的考试！
广场上人潮涌动，再往前远处有很多楼，但大多都不高，看起来有种古朴的感觉。青草正努力吸收着清晨的露水，空气中弥漫着清新的青草香味。在这样的环境中学习，浮躁的心情想必也会得到平静。两人往前方走去，在指定的注册处停了下来。
“数学系......往这个方向走，最后在尽头左转，里面那个考场就是了。”
工作人员查看了两人的信息后，指了一条路。路上，一个个不同的专业划分着不同的考场。
【文学】
【植物学】
【计算机科学与技术】
【材料科学与工程】
【物理学】
【土木工程】
【化学】
......
【数学】
两人来到考场处，将行李放在考场外，等待着考试的开始。不同的学科考试内容也不同，拿物理学举例，100分的内容基本上是30分的数学基础+70分的物理内容。
【各位考生请注意，请进入考场，考试将会在15分钟后开始。】
“小川，祝你考个好成绩。”
“放心。”
两人走入了考场。15分钟后，试卷发到了手上。秦川拿出手中的那支思维药剂，一饮而尽。
唰唰唰。
安静的考场只剩下笔在试卷上写字的声音，紧张的氛围让许多考生写字的手心都不由自主地出汗，写下的字体也变得有些歪曲。
“让我看看这个药剂到底有什么效果......”秦川拿起卷子，他的习惯是先花费5分钟的时间浏览一遍所有题目，然后再开始作答。
9：05。
秦川已经彻底瞪大了双眼，他已经被药剂的作用彻底震撼了！整整5分钟，秦川没有动过手中的笔，只是将所有的题目在心中过了一遍。
但即便如此，大部分简单的题目，他已经在心中算出来了！
那种感觉很奇怪，就比如说现在的他能够瞬间得到13×17=221，23×41=943此类算式的值，完全是下意识就得到了结果，根本不需要思考。又或者是说比如x^4+a^4=(x+a√i)(x-a√i)(x+a√(-i))(x-a√(-i))此类的因式分解，秦川也根本不需要思考就可以瞬间得到分解的结果。
听起来感觉不是很强？可要知道这是他无意识的操作！所有的一切一瞬间就可以得到结果！握笔的那一瞬间，秦川感觉如有神助！
本次考试没有设置选择题，前面几道题是填空题，快速在草稿纸上列出每一题的算式后，秦川便在答题卡上写下了自己的答案。
一旦开始进入状态，秦川做题便十分快！
他做题本来就很快，再加上思维药剂的提升，让他的做题速度快了一倍不止。
做数学题，最忌讳的有两点，第一是没有进入状态，大脑还不清晰，这会直接导致计算上容易出错；第二则是选择错了方法，在注定无法走通的道路上越走越远，最后恍然大悟时已经没有时间了。
9：10。
只用了5分钟，秦川就完成了5道填空题的作答，在他看来这些就是送分题，重头戏还在后面。
【已知点P是椭圆x^2/16+y^2/8=1上非顶点的动点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点......】
第一道大题就是解析几何的题目，计算量非常大，秦川整整计算了10分钟才完成。如果是以往，他可能要算20分钟，但是今天所有的公式联立和化简秦川几乎都是一瞬间完成，过程甚至连草稿纸都没有用上，节省了他大量的时间！
后面一题比一题难，但是大多是思维上的困难，这种困难对于秦川来说反而擅长。
一口气秦川直接写到了第6题。
“那个辅导书的方法我看过，实在是过于繁琐，如果能够用宝典上面的知识的话这不就是微分中值定理的直接应用么？”秦川心道。
担心使用的知识超纲，秦川甚至将定理的证明过程都直接写在了答题卡上。
“为了节省时间，先这样写着，后面再把别的方法写上去。”秦川担心这道题目最后还是会被扣分，所以准备最后再将繁琐的方法补在刚才方法的后面。
紧接着又是一题......
哒哒哒。
秦川的手指轻轻敲击着桌面，声音只有自己能听到。敲着敲着，他的眉头就渐渐舒展开来了。
“原来出题人的意思是这样，真是一道好题......”秦川心想。
“首先证明一个更广泛的结论，当n取奇数时题目便证完。首先对f(x)使用Taylor展开，再对f’(x)同样进行Taylor展开，利用Minkowski不等式就得到......”
秦川在答题纸上奋笔疾书，写下来一个更加广泛的证明结果，而考试题目只是一种特殊情况。
“呼，终于完成了！”秦川抬头看了看时间。
此时已经是10：00。
秦川终于做到了最后两道压轴题，一道题目考察数论相关的知识，另一道则是函数相关。两道题目所占的分值竟然达到了30分！可以说这两道题目如果无法做对，自主招生也就凉凉了。
【设整数n≥4，证明：若n整除2^n-2，则2^n-2/n是合数。】
倒数第二题的描述就只有一句话，但是难度不言而喻。在数学界，越短的猜想越是困难，往往这种猜想才是终极大难题！这是因为猜想越短，就代表给的信息越少，证明起来就越困难。
就比如说孪生素数猜想也就是一句话：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数。但是即使是在无数数学家的努力之下，距离解决仍然还有一段不小的距离。
反而是那些看起来十分复杂的题目，经过多年的努力后，很多都得到了证明。秦川思考了一会，在草稿纸上尝试了起来，“记2^n-2/n为y，若n为奇数，则由2^n-2为偶数知y为偶数，又2^n-2/n大于2，从而y是合数！”一种情况完成，这无疑给他打了一剂强心剂。
“下面考虑n为偶数，设n=2m，由于2^n-2/n是整数，所以m为奇数，设k是2模m的阶，则由简单的运算可得......”
秦川飞速地在草稿纸上证明着，最后终于用了20分钟成功证明了这道题目！随后他又花了5分钟将答案写在了答题卡上。
最后一题！
秦川看向最后一题，他做题这么久的时间，还从来没有像今天这么顺利过！他回想起来自己重生之前同样做这一套试卷，但是当时好像试卷的最后一题自己根本没有时间完成。
【求具有下述性质的最小正数c：对于任意整数n≥4，以及集合A⊆{1，2，...，n}，若|A|>cn，则存在函数f:A→{1，-1}，满足|∑_{a∈A}f(a)*a|≤1】
卧槽？！
这题秦川看完题目，瞬间就想起来，自己在那本系统给他的《数学冲刺宝典》里面做过一道极为类似的题目。只不过这道题目被放在了宝典的最后一个章节，用到的方法可以说是极为刁钻！
几乎一模一样的题！
如果没有见过，秦川估计即使在药剂的帮助下他也还是无法做出这一题来的。
但是做过了一遍就不一样了！
秦川清楚地记得这道题目《数学冲刺宝典》证明了一个很难想到的引理，再根据引理去证明题目，可以说绕了一个山路十八弯！
“首先，当n=6，A={1，4，5，6}时，不存在满足要求的f。此时|A|=2n/3，故c<2/3不具有题目所述性质。”这是这道题目最简单的一种情况，只要读过了题目，稍加尝试，大部分学霸应该都可以拿到这部分的分数。
但是大部分学霸都卡住了！
证明了最简单的情况，接下来就是引理的提出与证明了，可以说是这道题目的精华部分！而秦川，将要证明这个引理了。
“引理1，设x1，x2，...，xm是正整数，总和为s，且s小于2m，则对任意整数x∈[0，s]，存在指标集I⊆{1，2，...，m}，满足∑_{i∈I}xi=x。证明如下，对m归纳证明，当m=1时，只能x1=s=1，结论显然成立，假设m大于1......”
“引理得证！”
但是秦川知道自己还没有做完这道题目。
“回到原来的问题，由于题目条件，所以分两种情况讨论，(1)、假设|A|为偶数，则将A中元素从小到大依次记为a1，b1，a2，...，bm，令xi=bi-ai，就有......从而xi满足引理的条件......最后就得到了2[s/2]-s∈{0，1}，结论成立。(2)、|A|为奇数，同情形(1)可知s小于2m......从而满足引理的条件，则最后得到|2(a+s/2)-(a+s)|≤1，结论成立！”
洋洋洒洒写了整整一面纸，秦川终于是把这最后一题成功证明完成！
而此时此刻距离考试结束还有10分钟。
将刚才那道题目的繁琐做法补上之后，秦川还没来得及检查，考试就已经结束。
叮叮叮叮叮！！！
“考试结束，请立刻停止作答，最后一位考生帮忙回收试卷和答题卡！”
“数学系......往这个方向走，最后在尽头左转，里面那个考场就是了。”
工作人员查看了两人的信息后，指了一条路。路上，一个个不同的专业划分着不同的考场。
【文学】
【植物学】
【计算机科学与技术】
【材料科学与工程】
【物理学】
【土木工程】
【化学】
......
【数学】
两人来到考场处，将行李放在考场外，等待着考试的开始。不同的学科考试内容也不同，拿物理学举例，100分的内容基本上是30分的数学基础+70分的物理内容。
【各位考生请注意，请进入考场，考试将会在15分钟后开始。】
“小川，祝你考个好成绩。”
“放心。”
两人走入了考场。15分钟后，试卷发到了手上。秦川拿出手中的那支思维药剂，一饮而尽。
唰唰唰。
安静的考场只剩下笔在试卷上写字的声音，紧张的氛围让许多考生写字的手心都不由自主地出汗，写下的字体也变得有些歪曲。
“让我看看这个药剂到底有什么效果......”秦川拿起卷子，他的习惯是先花费5分钟的时间浏览一遍所有题目，然后再开始作答。
9：05。
秦川已经彻底瞪大了双眼，他已经被药剂的作用彻底震撼了！整整5分钟，秦川没有动过手中的笔，只是将所有的题目在心中过了一遍。
但即便如此，大部分简单的题目，他已经在心中算出来了！
那种感觉很奇怪，就比如说现在的他能够瞬间得到13×17=221，23×41=943此类算式的值，完全是下意识就得到了结果，根本不需要思考。又或者是说比如x^4+a^4=(x+a√i)(x-a√i)(x+a√(-i))(x-a√(-i))此类的因式分解，秦川也根本不需要思考就可以瞬间得到分解的结果。
听起来感觉不是很强？可要知道这是他无意识的操作！所有的一切一瞬间就可以得到结果！握笔的那一瞬间，秦川感觉如有神助！
本次考试没有设置选择题，前面几道题是填空题，快速在草稿纸上列出每一题的算式后，秦川便在答题卡上写下了自己的答案。
一旦开始进入状态，秦川做题便十分快！
他做题本来就很快，再加上思维药剂的提升，让他的做题速度快了一倍不止。
做数学题，最忌讳的有两点，第一是没有进入状态，大脑还不清晰，这会直接导致计算上容易出错；第二则是选择错了方法，在注定无法走通的道路上越走越远，最后恍然大悟时已经没有时间了。
9：10。
只用了5分钟，秦川就完成了5道填空题的作答，在他看来这些就是送分题，重头戏还在后面。
【已知点P是椭圆x^2/16+y^2/8=1上非顶点的动点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点......】
第一道大题就是解析几何的题目，计算量非常大，秦川整整计算了10分钟才完成。如果是以往，他可能要算20分钟，但是今天所有的公式联立和化简秦川几乎都是一瞬间完成，过程甚至连草稿纸都没有用上，节省了他大量的时间！
后面一题比一题难，但是大多是思维上的困难，这种困难对于秦川来说反而擅长。
一口气秦川直接写到了第6题。
“那个辅导书的方法我看过，实在是过于繁琐，如果能够用宝典上面的知识的话这不就是微分中值定理的直接应用么？”秦川心道。
担心使用的知识超纲，秦川甚至将定理的证明过程都直接写在了答题卡上。
“为了节省时间，先这样写着，后面再把别的方法写上去。”秦川担心这道题目最后还是会被扣分，所以准备最后再将繁琐的方法补在刚才方法的后面。
紧接着又是一题......
哒哒哒。
秦川的手指轻轻敲击着桌面，声音只有自己能听到。敲着敲着，他的眉头就渐渐舒展开来了。
“原来出题人的意思是这样，真是一道好题......”秦川心想。
“首先证明一个更广泛的结论，当n取奇数时题目便证完。首先对f(x)使用Taylor展开，再对f’(x)同样进行Taylor展开，利用Minkowski不等式就得到......”
秦川在答题纸上奋笔疾书，写下来一个更加广泛的证明结果，而考试题目只是一种特殊情况。
“呼，终于完成了！”秦川抬头看了看时间。
此时已经是10：00。
秦川终于做到了最后两道压轴题，一道题目考察数论相关的知识，另一道则是函数相关。两道题目所占的分值竟然达到了30分！可以说这两道题目如果无法做对，自主招生也就凉凉了。
【设整数n≥4，证明：若n整除2^n-2，则2^n-2/n是合数。】
倒数第二题的描述就只有一句话，但是难度不言而喻。在数学界，越短的猜想越是困难，往往这种猜想才是终极大难题！这是因为猜想越短，就代表给的信息越少，证明起来就越困难。
就比如说孪生素数猜想也就是一句话：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数。但是即使是在无数数学家的努力之下，距离解决仍然还有一段不小的距离。
反而是那些看起来十分复杂的题目，经过多年的努力后，很多都得到了证明。秦川思考了一会，在草稿纸上尝试了起来，“记2^n-2/n为y，若n为奇数，则由2^n-2为偶数知y为偶数，又2^n-2/n大于2，从而y是合数！”一种情况完成，这无疑给他打了一剂强心剂。
“下面考虑n为偶数，设n=2m，由于2^n-2/n是整数，所以m为奇数，设k是2模m的阶，则由简单的运算可得......”
秦川飞速地在草稿纸上证明着，最后终于用了20分钟成功证明了这道题目！随后他又花了5分钟将答案写在了答题卡上。
最后一题！
秦川看向最后一题，他做题这么久的时间，还从来没有像今天这么顺利过！他回想起来自己重生之前同样做这一套试卷，但是当时好像试卷的最后一题自己根本没有时间完成。
【求具有下述性质的最小正数c：对于任意整数n≥4，以及集合A⊆{1，2，...，n}，若|A|>cn，则存在函数f:A→{1，-1}，满足|∑_{a∈A}f(a)*a|≤1】
卧槽？！
这题秦川看完题目，瞬间就想起来，自己在那本系统给他的《数学冲刺宝典》里面做过一道极为类似的题目。只不过这道题目被放在了宝典的最后一个章节，用到的方法可以说是极为刁钻！
几乎一模一样的题！
如果没有见过，秦川估计即使在药剂的帮助下他也还是无法做出这一题来的。
但是做过了一遍就不一样了！
秦川清楚地记得这道题目《数学冲刺宝典》证明了一个很难想到的引理，再根据引理去证明题目，可以说绕了一个山路十八弯！
“首先，当n=6，A={1，4，5，6}时，不存在满足要求的f。此时|A|=2n/3，故c<2/3不具有题目所述性质。”这是这道题目最简单的一种情况，只要读过了题目，稍加尝试，大部分学霸应该都可以拿到这部分的分数。
但是大部分学霸都卡住了！
证明了最简单的情况，接下来就是引理的提出与证明了，可以说是这道题目的精华部分！而秦川，将要证明这个引理了。
“引理1，设x1，x2，...，xm是正整数，总和为s，且s小于2m，则对任意整数x∈[0，s]，存在指标集I⊆{1，2，...，m}，满足∑_{i∈I}xi=x。证明如下，对m归纳证明，当m=1时，只能x1=s=1，结论显然成立，假设m大于1......”
“引理得证！”
但是秦川知道自己还没有做完这道题目。
“回到原来的问题，由于题目条件，所以分两种情况讨论，(1)、假设|A|为偶数，则将A中元素从小到大依次记为a1，b1，a2，...，bm，令xi=bi-ai，就有......从而xi满足引理的条件......最后就得到了2[s/2]-s∈{0，1}，结论成立。(2)、|A|为奇数，同情形(1)可知s小于2m......从而满足引理的条件，则最后得到|2(a+s/2)-(a+s)|≤1，结论成立！”
洋洋洒洒写了整整一面纸，秦川终于是把这最后一题成功证明完成！
而此时此刻距离考试结束还有10分钟。
将刚才那道题目的繁琐做法补上之后，秦川还没来得及检查，考试就已经结束。
叮叮叮叮叮！！！
“考试结束，请立刻停止作答，最后一位考生帮忙回收试卷和答题卡！”
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