第十二章 题目
“老刘，那群孩子，你搞定了吗？”刘礼刚进门，张燃便开门见山。
“嗯，人是都被我拖进了竞赛组，不过我搞定的是他们的父母，而不是他们本人，他们至今都没有认真学数学的那种想法。”
刘礼这个老头儿也是有一说一，直言不讳。
“没事，只要人先诓进来了就好。对了，我这地方有道练习题，你拿过去让孩子们去试，除了给吴铭他们做以外，原先那批竞赛组的孩子也让他们做一下。”
“还有结果出来了以后，不管正确与否，你第一时间将他们的解题答案拿过来给我看。”
张燃拿出了一张纸，在上面写了一道数学题后，便递给了刘礼。
此时的纸头上，题目是如此写道：设正整数a，b满足ab+1可以整除a2+b2，证明(a2+b2)/(ab+1)是某个整数的平方。
刘礼虽然睿智，阅历经验丰富，但他看到纸头上的内容以后，完全是茫然状态。
因为他不懂数学，而且刘礼根本不明白这个题目是有多难，以为只是一道有点难度的小学奥数题。
但其实这道题目大有来头，曾经在地球世界的奥数史上，被誉为【传奇的第6题】。
这道题目最初来源于地球上的IMO竞赛。
IMO竞赛是让全世界不同国家的中学生参与的数学奥数比赛，按惯例每届比赛共有6道题目，比赛分两天进行，每天只做三题，总共时间为9小时。
题目基本上都是证明类题目，每题值7分，共42分。
试题大致上会分为简单、中等与困难三个等级，第1与第4题属简单，第2与第5题属中等，第3与第6题属困难。
题目由主办国外的各参赛国提供，再由主办国组成拟题委员会，从提交题目中挑选出比赛题目。
张燃此时写在纸头里的这个题目，便是来源于第29届国际数学奥林匹克竞赛的第6题。
而且也是唯一一个连当时的出题者，甚至是与会的几位数学家都没有解开答案的题目，故被称为了传奇的第6题。
张燃也不期望自己刻意拿出来的这个题目，能被吴铭那帮小鬼给证明出来。但是他希望从那帮孩子的解题思路里发现他觉得最为合适培育的苗子。
“明白了，少爷，明天我就会组织他们进行一场模拟比赛，题目就用您给我的这个题目。”
“只是这道题目的答案，您是否也能一同给我，否则我无法让那些老师来判断孩子们做题的思路和最终的结果对不对。”
“老刘，你说得也对，那你等我一下。”
张燃觉得刘礼的这个意见很对，这个题目自己会做，但不代表自己山海小学里的那帮数学老师会做，于是他开始做题，将题目的答案也写了出来...
....
“同学们，先安静一下，我们今天就临时性的集中测验一下。”
王亮是山海小学奥数竞赛组的负责老师，他实际上非常不满意校方近期对竞赛组的人员安排，特别是将一些明显不爱学习的学生，强行插入他的赛训组，这让他感到无比抓狂。
虽然内心极度想反抗校方的这一决定，但他又得依靠这个岗位来养家糊口，所以只能妥协。
谁叫新来的校方股东有随意调整竞赛组人员的爱好呢。
而且今天校长突然让教务主任跟他说，要临时安排一场面向所有奥赛组学生的集中测验，题目也有人提前准备好了，这让王亮嗅到了职业上的危机。
他深度怀疑是不是这场测验的结果，会最终影响到自己在这个岗位上的存续？
这让这个以数学为理想为职业的中年男人忐忑不已。
不过教务主任也看出了王亮此时心里的不安，故在测验开始前对他本人进行了一番劝导。
并承诺他这次测验的结果，不会用于判定他的工作能否继续胜任，而是校长打算以后好好重视我们学校的奥赛组了。
教务主任的这番话，这才稍微的安了一下王亮的心。
不过当王亮拿到今天测验的题目时，他的情绪一下子就激动了起来，因为这个题目，怎么可能是小学生做的奥赛题啊！
你这个题目，不要说连中学生奥赛组的人做不出来，连自己这个曾经毕业于震旦大学数学系，研究了数论二十余年的老家伙，在几个小时内，也做不出来啊！
不过这个题目，看着真的好有意思啊！
设正整数a，b满足ab+1可以整除a2+b2，证明(a2+b2)/(ab+1)是某个整数的平方。
那么我例如代入a=1，b=1，我们就会得到k=(12+12)/(1x1+1)=1，显然这是一个平方数。
这个题目，看着跟很多数论问题一样，很容易理解，甚至是一个普通的初中生都可以明白，但解答起来却出奇地困难。
王亮觉得自己应该有办法最终给它解开，但现在却有一种想入手，却又没法完全入手的难受感。
出题的那个人，是个高手，非常恐怖的高手。
这是王亮看完题目，沉思许久以后给出的最终判断。
不过管他呢，为了保住自己的饭碗，先听学校的安排，把这道恶心人的题目，先丢给孩子们看看再说，虽然大概率，或者说100%，这群孩子最后都会被这道题目逼哭。
...…
现在，吴铭很烦，他真得很烦。
脑子里只想踢球的他，此时被强行按在一间教室里考试做题让他很难受。
那么做题就做题吧，只是这道数学题，他根本就没办法入手去做啊！
完全没有什么奥数基础的吴铭，看着眼前的这个题目，只能痛苦的内心哀嚎着。
妈妈啊，爸爸啊，你们干嘛一定要逼着我来这个奥数组啊，这里的题目，完全都是怪物啊！
不过当吴铭抬头看到其他同学也在此时面露愁容，仿佛便秘一般的时候，他的心境突然变得愉悦了起来。
嘿嘿，原来这帮子学霸，似乎也跟我差不多垃圾嘛，你们看见这种题目，也都得跟我一样难受。
不过一个字都不写似乎不太好，吴铭想到如果自己的爸妈知道自己在奥数组里刻意摆烂，那么家里招牌的“红烧油焖笋”又会给他上桌了。
为了自己的人身安全，吴铭打算先努力的涂点鸦。
于是乎不管是喜欢还是不喜欢，他还真开始凭借自己脑海里的数学知识，全神贯注的研究起这道题目来，随后某种灵感突然涌入，他开始动笔在草稿纸上写了起来....
测验开始以后，王亮也没管底下的孩子们是如何在痛苦中尝试破题做题，他知道这种测验，你去监考孩子们有没有作弊那完全就是在浪费时间，还不如自己用心研究一下这道题的答案。
教务主任今天除了把题目拿给了他，也同时把这道题目的答案给了他。
张燃写得那份题目答案，此时就握在王亮的手里。
而王亮看了张燃的解题思路和解题过程以后，完全惊为天人，因为张燃采用的方法竟然是“韦达跳跃”（Vietajumping）。
“韦达跳跃”这一概念其实出之高中数学，它本身没有什么高深的地方，只不过是利用了极尽巧妙的方法，把初等数学的威力完全发挥了出来。
韦达跳跃这一技巧牵涉到两个重要数学知识，即韦达定理（Vieta’stheorem）和无穷递降法（methodofinfinitedescent）。
韦达定理其实说白了就是二次方程中，根的和与积及系数的关系：
即设一元二次方程ax2+bx+c=0有根α与β，那么α+β=-b/a，αβ=c/a。
至于无穷递降法则是一种特殊的反证法，用的是“没有最小，只有更小”这一数学概念。
如果我们提前假设，一方程式如果有一正整数解，那么应该就有一最小的解。
然后我们再证明“如果有一解，必有另一个更小的解”，也就是说“没有最小，只有更小”。
但这与方程式有最小解互相矛盾，所以唯一的可能性就是我们的假设出错，方程式根本上没有解。
这个方法最先由大数学家费马使用，他据此证明了x4+y4=z4没有正整数解，也就是费马大定理中n=4的情况。
欧拉也用无穷递降法证明过，每个除4后余数为1的质数都可以表达为两个平方之和。
值得一提的是，这定理也是由费马最先提出的，虽然他没有提出最后的证明。不过显然张燃对于费马这位数学天才情有独钟。
张燃的解题思路和流程，具体是如下表述的：
ab+1可以整除a2+b2，所以(a2+b2)/(ab+1)是正整数。
设有正整数a及b满足(a2+b2)/(ab+1)=k，其中k不是平方数，我们将制造出一个矛盾去证明这是不可能的，所以k必为平方数。
在众多组满足条件的正整数a、b中，必有一组的和是最小的，我们设它为a1与b1。
由于把a1与b1互换，也不会影响(a12+b12)/(a1b1+1)的值，所以我们不妨假设a1＞＝b1。
将a1与b1代入上面的式子后，我们将得到...
...（省略）
a1是一元二次方程x2-kb1x+(b12-k)=0的一个根，设方程的另一个根为a2。根据韦达定理，我们得到...
....（省略）
由此进一步得到a2需要满足的条件，
....（省略）
根据(1)，a2必为整数。
根据(2)，a2不可能是0，因为k不是平方数，b12-k不可能是0。
k是正整数，b1是正整数，(a22+b12)/(a2b1+1)=k，显然a2不可以是负数。
因为我们假设过a1＞＝b1，因此根据(2)，a2必定小于a1。
综上所述我们有一小于a1的正整数a2，令(a22+b12)/(a2b1+1)=k，其中k不是平方数。a2与b1是满足(a2+b2)/(ab+1)=k（其中k不是平方数）的一组解，但它们的和比a1与b1小，“没有最小，只有更小”。
不过我们之前已经假设了a1与b1的和是众多组解中最小的，这样就产生矛盾。
因此如果正整数a，b满足ab+1可以整除a2+b2，(a2+b2)/(ab+1)必定是平方数。
证明结束。
.....
“嗯，人是都被我拖进了竞赛组，不过我搞定的是他们的父母，而不是他们本人，他们至今都没有认真学数学的那种想法。”
刘礼这个老头儿也是有一说一，直言不讳。
“没事，只要人先诓进来了就好。对了，我这地方有道练习题，你拿过去让孩子们去试，除了给吴铭他们做以外，原先那批竞赛组的孩子也让他们做一下。”
“还有结果出来了以后，不管正确与否，你第一时间将他们的解题答案拿过来给我看。”
张燃拿出了一张纸，在上面写了一道数学题后，便递给了刘礼。
此时的纸头上，题目是如此写道：设正整数a，b满足ab+1可以整除a2+b2，证明(a2+b2)/(ab+1)是某个整数的平方。
刘礼虽然睿智，阅历经验丰富，但他看到纸头上的内容以后，完全是茫然状态。
因为他不懂数学，而且刘礼根本不明白这个题目是有多难，以为只是一道有点难度的小学奥数题。
但其实这道题目大有来头，曾经在地球世界的奥数史上，被誉为【传奇的第6题】。
这道题目最初来源于地球上的IMO竞赛。
IMO竞赛是让全世界不同国家的中学生参与的数学奥数比赛，按惯例每届比赛共有6道题目，比赛分两天进行，每天只做三题，总共时间为9小时。
题目基本上都是证明类题目，每题值7分，共42分。
试题大致上会分为简单、中等与困难三个等级，第1与第4题属简单，第2与第5题属中等，第3与第6题属困难。
题目由主办国外的各参赛国提供，再由主办国组成拟题委员会，从提交题目中挑选出比赛题目。
张燃此时写在纸头里的这个题目，便是来源于第29届国际数学奥林匹克竞赛的第6题。
而且也是唯一一个连当时的出题者，甚至是与会的几位数学家都没有解开答案的题目，故被称为了传奇的第6题。
张燃也不期望自己刻意拿出来的这个题目，能被吴铭那帮小鬼给证明出来。但是他希望从那帮孩子的解题思路里发现他觉得最为合适培育的苗子。
“明白了，少爷，明天我就会组织他们进行一场模拟比赛，题目就用您给我的这个题目。”
“只是这道题目的答案，您是否也能一同给我，否则我无法让那些老师来判断孩子们做题的思路和最终的结果对不对。”
“老刘，你说得也对，那你等我一下。”
张燃觉得刘礼的这个意见很对，这个题目自己会做，但不代表自己山海小学里的那帮数学老师会做，于是他开始做题，将题目的答案也写了出来...
....
“同学们，先安静一下，我们今天就临时性的集中测验一下。”
王亮是山海小学奥数竞赛组的负责老师，他实际上非常不满意校方近期对竞赛组的人员安排，特别是将一些明显不爱学习的学生，强行插入他的赛训组，这让他感到无比抓狂。
虽然内心极度想反抗校方的这一决定，但他又得依靠这个岗位来养家糊口，所以只能妥协。
谁叫新来的校方股东有随意调整竞赛组人员的爱好呢。
而且今天校长突然让教务主任跟他说，要临时安排一场面向所有奥赛组学生的集中测验，题目也有人提前准备好了，这让王亮嗅到了职业上的危机。
他深度怀疑是不是这场测验的结果，会最终影响到自己在这个岗位上的存续？
这让这个以数学为理想为职业的中年男人忐忑不已。
不过教务主任也看出了王亮此时心里的不安，故在测验开始前对他本人进行了一番劝导。
并承诺他这次测验的结果，不会用于判定他的工作能否继续胜任，而是校长打算以后好好重视我们学校的奥赛组了。
教务主任的这番话，这才稍微的安了一下王亮的心。
不过当王亮拿到今天测验的题目时，他的情绪一下子就激动了起来，因为这个题目，怎么可能是小学生做的奥赛题啊！
你这个题目，不要说连中学生奥赛组的人做不出来，连自己这个曾经毕业于震旦大学数学系，研究了数论二十余年的老家伙，在几个小时内，也做不出来啊！
不过这个题目，看着真的好有意思啊！
设正整数a，b满足ab+1可以整除a2+b2，证明(a2+b2)/(ab+1)是某个整数的平方。
那么我例如代入a=1，b=1，我们就会得到k=(12+12)/(1x1+1)=1，显然这是一个平方数。
这个题目，看着跟很多数论问题一样，很容易理解，甚至是一个普通的初中生都可以明白，但解答起来却出奇地困难。
王亮觉得自己应该有办法最终给它解开，但现在却有一种想入手，却又没法完全入手的难受感。
出题的那个人，是个高手，非常恐怖的高手。
这是王亮看完题目，沉思许久以后给出的最终判断。
不过管他呢，为了保住自己的饭碗，先听学校的安排，把这道恶心人的题目，先丢给孩子们看看再说，虽然大概率，或者说100%，这群孩子最后都会被这道题目逼哭。
...…
现在，吴铭很烦，他真得很烦。
脑子里只想踢球的他，此时被强行按在一间教室里考试做题让他很难受。
那么做题就做题吧，只是这道数学题，他根本就没办法入手去做啊！
完全没有什么奥数基础的吴铭，看着眼前的这个题目，只能痛苦的内心哀嚎着。
妈妈啊，爸爸啊，你们干嘛一定要逼着我来这个奥数组啊，这里的题目，完全都是怪物啊！
不过当吴铭抬头看到其他同学也在此时面露愁容，仿佛便秘一般的时候，他的心境突然变得愉悦了起来。
嘿嘿，原来这帮子学霸，似乎也跟我差不多垃圾嘛，你们看见这种题目，也都得跟我一样难受。
不过一个字都不写似乎不太好，吴铭想到如果自己的爸妈知道自己在奥数组里刻意摆烂，那么家里招牌的“红烧油焖笋”又会给他上桌了。
为了自己的人身安全，吴铭打算先努力的涂点鸦。
于是乎不管是喜欢还是不喜欢，他还真开始凭借自己脑海里的数学知识，全神贯注的研究起这道题目来，随后某种灵感突然涌入，他开始动笔在草稿纸上写了起来....
测验开始以后，王亮也没管底下的孩子们是如何在痛苦中尝试破题做题，他知道这种测验，你去监考孩子们有没有作弊那完全就是在浪费时间，还不如自己用心研究一下这道题的答案。
教务主任今天除了把题目拿给了他，也同时把这道题目的答案给了他。
张燃写得那份题目答案，此时就握在王亮的手里。
而王亮看了张燃的解题思路和解题过程以后，完全惊为天人，因为张燃采用的方法竟然是“韦达跳跃”（Vietajumping）。
“韦达跳跃”这一概念其实出之高中数学，它本身没有什么高深的地方，只不过是利用了极尽巧妙的方法，把初等数学的威力完全发挥了出来。
韦达跳跃这一技巧牵涉到两个重要数学知识，即韦达定理（Vieta’stheorem）和无穷递降法（methodofinfinitedescent）。
韦达定理其实说白了就是二次方程中，根的和与积及系数的关系：
即设一元二次方程ax2+bx+c=0有根α与β，那么α+β=-b/a，αβ=c/a。
至于无穷递降法则是一种特殊的反证法，用的是“没有最小，只有更小”这一数学概念。
如果我们提前假设，一方程式如果有一正整数解，那么应该就有一最小的解。
然后我们再证明“如果有一解，必有另一个更小的解”，也就是说“没有最小，只有更小”。
但这与方程式有最小解互相矛盾，所以唯一的可能性就是我们的假设出错，方程式根本上没有解。
这个方法最先由大数学家费马使用，他据此证明了x4+y4=z4没有正整数解，也就是费马大定理中n=4的情况。
欧拉也用无穷递降法证明过，每个除4后余数为1的质数都可以表达为两个平方之和。
值得一提的是，这定理也是由费马最先提出的，虽然他没有提出最后的证明。不过显然张燃对于费马这位数学天才情有独钟。
张燃的解题思路和流程，具体是如下表述的：
ab+1可以整除a2+b2，所以(a2+b2)/(ab+1)是正整数。
设有正整数a及b满足(a2+b2)/(ab+1)=k，其中k不是平方数，我们将制造出一个矛盾去证明这是不可能的，所以k必为平方数。
在众多组满足条件的正整数a、b中，必有一组的和是最小的，我们设它为a1与b1。
由于把a1与b1互换，也不会影响(a12+b12)/(a1b1+1)的值，所以我们不妨假设a1＞＝b1。
将a1与b1代入上面的式子后，我们将得到...
...（省略）
a1是一元二次方程x2-kb1x+(b12-k)=0的一个根，设方程的另一个根为a2。根据韦达定理，我们得到...
....（省略）
由此进一步得到a2需要满足的条件，
....（省略）
根据(1)，a2必为整数。
根据(2)，a2不可能是0，因为k不是平方数，b12-k不可能是0。
k是正整数，b1是正整数，(a22+b12)/(a2b1+1)=k，显然a2不可以是负数。
因为我们假设过a1＞＝b1，因此根据(2)，a2必定小于a1。
综上所述我们有一小于a1的正整数a2，令(a22+b12)/(a2b1+1)=k，其中k不是平方数。a2与b1是满足(a2+b2)/(ab+1)=k（其中k不是平方数）的一组解，但它们的和比a1与b1小，“没有最小，只有更小”。
不过我们之前已经假设了a1与b1的和是众多组解中最小的，这样就产生矛盾。
因此如果正整数a，b满足ab+1可以整除a2+b2，(a2+b2)/(ab+1)必定是平方数。
证明结束。
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