第二十六章 欧拉公式
完全忘记要过游戏日常的秦菲一早就洗漱吃饭坐在书桌前继续做着昨天的题目，此时，那些欢乐的场景，奇幻的世界和充满魅力的角色一点也撼动不了她打开草稿纸的动作。
“证明，今天要好好地证明。”
Q13：证明：x0是f(x)的k重根的充分必要条件是f(x0)=f'(x0)=...=f(k-1)(x0)=0，而f(k)(x0)≠0。
①必要性：x0是f(x)的k重根推f(x0)=f'(x0)=...=f(k-1)(x0)=0，而f(k)(x0)≠0。
“x0是f(x)的k重根......”秦菲沿着昨天的轨迹开始思考这个条件能说明什么，“（x-x0）是f(x)的k重因式，f(x)可以表示为（x-x0）^k*q(x)，这样子表示的话，f(x0)，f'(x0)一直到k-1阶导数，用x0代入结果都是0。”
只差最后一步。
f(x)的k阶导数，只要这个式子用x0代入不为零，证明就完成了。
“k阶导数是k！q(x)，q(x0)是不可能为0的。”
②充分性：f(x0)=f'(x0)=...=f(k-1)(x0)=0，而f(k)(x0)≠0推x0是f(x)的k重根。
由f(x0)=f'(x0)=...=f(k-1)(x0)=0，设f(x)=（x-x0）^k*p(x)。
f(x)的k阶导数为k！p(x)，因为f(k)(x0)≠0，所以有p(x0)≠0，则x0是f(x)的k重根。
“这样充分性和必要性就都证好了，比我想象中要简单很多。”
“这题是定义题，给你找信心的，你昨天说想不出来我还觉得奇怪。”
“脑子昏头了，估计是。”秦菲抿了一口水，看起了下一题。
Q14：证明：如果（x-1）|f（xⁿ），那么（xⁿ-1）|f（xⁿ）。
“（xⁿ-1）=（x-1）（1+x+x²+...+xⁿ），这个式子会有用吗？感觉没什么用的样子。”秦菲擦去笔记，重新思考，“后面推前面肯定是有的，前面推后面嘛，xⁿ肯定是个关键。”
“关键在哪里？”超新星问。
“我在想，让我想想，三分钟想不出来你就告诉我答案的思路吧。”秦菲赞同不硬嗑的观点，主要是时间不允许，“试试反证法好了。”
（x-1）|f（xⁿ），（xⁿ-1）∤f（xⁿ）。
可推（1+x+x²+...+x^(n-1)）∤f（xⁿ）。
“不能整除又怎么样，还是没用啊，别的条件还有什么？矛盾又会在哪里？”秦菲摩挲着下巴，眼神里充满困惑。
“（x-1）能够整除f（xⁿ），说明1是f（xⁿ）的根。”三分钟到，超新星给了一个提示。
“1是根，那又能怎样？”秦菲还是不解。
“反证法。”超新星给出了第二个提示。
“我知道反证法啊，问题是怎么反证？再给个提示吧，求求了。”
“设个函数，y=xⁿ。”
“y=xⁿ，1也不是这个函数的根，设这个有什么用呢？”秦菲不明白，但是还是把式子写在了草稿纸上。
见秦菲写了个函数笔就停着不动，系统决定给出第四个提示。
“把y和f(xⁿ)的关联写出来。”
“关联不就是f(xⁿ)=f(y)。”
反证法，若（xⁿ-1）∤f（xⁿ），则有f(xⁿ)=f(y)=(y-1)q(y)+C，C是不为零的常数，即f(xⁿ)=(xⁿ-1)q(xⁿ)+C。
“到这一步了，没有用过的条件就是x=1是函数的根，把x=1代入，显然矛盾，所以（xⁿ-1）可以整除f（xⁿ）。”
“对的，下一题还是证明，加油加油。”
Q15：证明：如果（1+x+x²）|[f1（x³）+xf2（x³）]，那么（x-1）|f1（x），（x-1）|f2（x）。
“这也太像了吧。”秦菲决定直接套上一题的思路。
先看根，1+x+x²=0的根之前已经求过，两个根分别是ω=（-1+√3i）/2和ω²=-（1+√3i）/2，这也是1开三次根的值。
反证法，（x-1）∤f1（x），（x-1）∤f2（x）。
设函数，y=x³，f1(y)=(1+x+x²)q1(y)+C1，f2(y)=(1+x+x²)q2(y)+C2，C1和C2是不为零的常数。
那么f1(y)+xf2(y)=f1(x³)+xf2(x³)=(1+x+x²)q1(y)+C1+x(1+x+x²)q2(y)+C2*x。
把根代进去就是C1+C2*ω或者C1+C2*ω²，C1和C2是实数，ω和ω²是复数，这两个式子显然不相等，矛盾，所以（x-1）|f1（x），（x-1）|f2（x）成立。
“思路没错，不过做法还可以简化，在设函数时，我们可以不用分开，把f1(x³)+xf2(x³)看成一个整体。”
“这个确实，我的写法麻烦了点。”
“事实上我们也可以不用反证法。”超新星提供了另一种思路，“因为(1+x+x²)=(x-ω)(x-ω²)，我们设f1(x³)+xf2(x³)=(1+x+x²)q(x)，此时，我们将x=ω和x=ω²分别代入。”
f1(1)+ωf2(1)=0
f1(1)+ω²f2(1)=0
“从这两个式子我们可以得出f1(1)=f2(1)=0，自然有（x-1）|f1（x），（x-1）|f2（x）。”
“顺着来，也是不错的思路。”
“是的，那现在我来问问你，按照这个思路，上一题应该怎么做呢？”超新星问。
“上一题的话......”秦菲开始照猫画虎，“（x-1）|f（xⁿ），易知x=1是f（xⁿ）的根，即f（1）=f（1ⁿ）=0，因此（xⁿ-1）|f（xⁿ），诶，这样就出来了耶。”
“毕竟是第一章，都是基础题目，下一题。”
Q16：将多项式xⁿ-1在复数范围内和在实数范围内因式分解。
xⁿ-1=（1+x+x²+...+x^(n-1)）(x-1)
“刚才做过的，实数范围就到这里，复数范围嘛，我知道根据代数基本定理，它肯定有根，毕竟n=3的情况我是计算过的，我也知道根据复系数多项式因式分解定理，它可以唯一地分解成一次因式的乘积，道理我都懂，但是我只能写到这里了。”秦菲翻遍了这一章，定理又过了一遍，她只找到了在复数域可以分解的部分，并没能找到在复数域上因式分解该怎么展开。
“那么，接下来，我将为你介绍一个伟大的公式——欧拉公式。”
e^(ix)＝cosx＋isinx
“看上去是挺天才的，完全看不懂，为什么啊？”秦菲的大脑当场过载，直接放弃思考。
“放心放心，考虑到现在只是入门，我给你选了一个最简单最好理解的证明方法。”超新星安抚道。
“真的假的，说来听听。”
设f(x)=cosx＋isinx，显然有f(0)=1。
f'(x)=-sinx＋icosx=if(x)
“到这里都没问题吧？”
“嗯嗯。”
“好的，那么由f(0)=1和f'(x)=if(x)这两个条件，请问f(x)是什么呢？”
秦菲看看欧拉公式，再看看这f'(x)，答案已经呼之欲出。
“这样也行？”
“是不是很容易理解？f(x)=e^(ix)=cosx＋isinx，也就是我们的欧拉公式了。”
“这实部和虚部有点像单位圆的坐标啊。”秦菲观察了一会儿。
“的确是这样，不过这里我们就不深入展开了，我们这里学习这个公式主要是为了多项式在复数域上的因式分解。”
“对，不过xⁿ-1和e^(ix)=cosx＋isinx有什么关系？欧拉公式这明显跟角度有关啊，左边这式子哪来的角度？”
“给个提示，可以对e^(ix)进行代换，五分钟想一想，没思路的话我再来说。”
“行，我自己摸索一会儿。”
当x=π，e^(πi)=-1。
当x=2π，e^(2πi)=1。
如果把1=e^(2πi)代入xⁿ-1=0中间呢？
“证明，今天要好好地证明。”
Q13：证明：x0是f(x)的k重根的充分必要条件是f(x0)=f'(x0)=...=f(k-1)(x0)=0，而f(k)(x0)≠0。
①必要性：x0是f(x)的k重根推f(x0)=f'(x0)=...=f(k-1)(x0)=0，而f(k)(x0)≠0。
“x0是f(x)的k重根......”秦菲沿着昨天的轨迹开始思考这个条件能说明什么，“（x-x0）是f(x)的k重因式，f(x)可以表示为（x-x0）^k*q(x)，这样子表示的话，f(x0)，f'(x0)一直到k-1阶导数，用x0代入结果都是0。”
只差最后一步。
f(x)的k阶导数，只要这个式子用x0代入不为零，证明就完成了。
“k阶导数是k！q(x)，q(x0)是不可能为0的。”
②充分性：f(x0)=f'(x0)=...=f(k-1)(x0)=0，而f(k)(x0)≠0推x0是f(x)的k重根。
由f(x0)=f'(x0)=...=f(k-1)(x0)=0，设f(x)=（x-x0）^k*p(x)。
f(x)的k阶导数为k！p(x)，因为f(k)(x0)≠0，所以有p(x0)≠0，则x0是f(x)的k重根。
“这样充分性和必要性就都证好了，比我想象中要简单很多。”
“这题是定义题，给你找信心的，你昨天说想不出来我还觉得奇怪。”
“脑子昏头了，估计是。”秦菲抿了一口水，看起了下一题。
Q14：证明：如果（x-1）|f（xⁿ），那么（xⁿ-1）|f（xⁿ）。
“（xⁿ-1）=（x-1）（1+x+x²+...+xⁿ），这个式子会有用吗？感觉没什么用的样子。”秦菲擦去笔记，重新思考，“后面推前面肯定是有的，前面推后面嘛，xⁿ肯定是个关键。”
“关键在哪里？”超新星问。
“我在想，让我想想，三分钟想不出来你就告诉我答案的思路吧。”秦菲赞同不硬嗑的观点，主要是时间不允许，“试试反证法好了。”
（x-1）|f（xⁿ），（xⁿ-1）∤f（xⁿ）。
可推（1+x+x²+...+x^(n-1)）∤f（xⁿ）。
“不能整除又怎么样，还是没用啊，别的条件还有什么？矛盾又会在哪里？”秦菲摩挲着下巴，眼神里充满困惑。
“（x-1）能够整除f（xⁿ），说明1是f（xⁿ）的根。”三分钟到，超新星给了一个提示。
“1是根，那又能怎样？”秦菲还是不解。
“反证法。”超新星给出了第二个提示。
“我知道反证法啊，问题是怎么反证？再给个提示吧，求求了。”
“设个函数，y=xⁿ。”
“y=xⁿ，1也不是这个函数的根，设这个有什么用呢？”秦菲不明白，但是还是把式子写在了草稿纸上。
见秦菲写了个函数笔就停着不动，系统决定给出第四个提示。
“把y和f(xⁿ)的关联写出来。”
“关联不就是f(xⁿ)=f(y)。”
反证法，若（xⁿ-1）∤f（xⁿ），则有f(xⁿ)=f(y)=(y-1)q(y)+C，C是不为零的常数，即f(xⁿ)=(xⁿ-1)q(xⁿ)+C。
“到这一步了，没有用过的条件就是x=1是函数的根，把x=1代入，显然矛盾，所以（xⁿ-1）可以整除f（xⁿ）。”
“对的，下一题还是证明，加油加油。”
Q15：证明：如果（1+x+x²）|[f1（x³）+xf2（x³）]，那么（x-1）|f1（x），（x-1）|f2（x）。
“这也太像了吧。”秦菲决定直接套上一题的思路。
先看根，1+x+x²=0的根之前已经求过，两个根分别是ω=（-1+√3i）/2和ω²=-（1+√3i）/2，这也是1开三次根的值。
反证法，（x-1）∤f1（x），（x-1）∤f2（x）。
设函数，y=x³，f1(y)=(1+x+x²)q1(y)+C1，f2(y)=(1+x+x²)q2(y)+C2，C1和C2是不为零的常数。
那么f1(y)+xf2(y)=f1(x³)+xf2(x³)=(1+x+x²)q1(y)+C1+x(1+x+x²)q2(y)+C2*x。
把根代进去就是C1+C2*ω或者C1+C2*ω²，C1和C2是实数，ω和ω²是复数，这两个式子显然不相等，矛盾，所以（x-1）|f1（x），（x-1）|f2（x）成立。
“思路没错，不过做法还可以简化，在设函数时，我们可以不用分开，把f1(x³)+xf2(x³)看成一个整体。”
“这个确实，我的写法麻烦了点。”
“事实上我们也可以不用反证法。”超新星提供了另一种思路，“因为(1+x+x²)=(x-ω)(x-ω²)，我们设f1(x³)+xf2(x³)=(1+x+x²)q(x)，此时，我们将x=ω和x=ω²分别代入。”
f1(1)+ωf2(1)=0
f1(1)+ω²f2(1)=0
“从这两个式子我们可以得出f1(1)=f2(1)=0，自然有（x-1）|f1（x），（x-1）|f2（x）。”
“顺着来，也是不错的思路。”
“是的，那现在我来问问你，按照这个思路，上一题应该怎么做呢？”超新星问。
“上一题的话......”秦菲开始照猫画虎，“（x-1）|f（xⁿ），易知x=1是f（xⁿ）的根，即f（1）=f（1ⁿ）=0，因此（xⁿ-1）|f（xⁿ），诶，这样就出来了耶。”
“毕竟是第一章，都是基础题目，下一题。”
Q16：将多项式xⁿ-1在复数范围内和在实数范围内因式分解。
xⁿ-1=（1+x+x²+...+x^(n-1)）(x-1)
“刚才做过的，实数范围就到这里，复数范围嘛，我知道根据代数基本定理，它肯定有根，毕竟n=3的情况我是计算过的，我也知道根据复系数多项式因式分解定理，它可以唯一地分解成一次因式的乘积，道理我都懂，但是我只能写到这里了。”秦菲翻遍了这一章，定理又过了一遍，她只找到了在复数域可以分解的部分，并没能找到在复数域上因式分解该怎么展开。
“那么，接下来，我将为你介绍一个伟大的公式——欧拉公式。”
e^(ix)＝cosx＋isinx
“看上去是挺天才的，完全看不懂，为什么啊？”秦菲的大脑当场过载，直接放弃思考。
“放心放心，考虑到现在只是入门，我给你选了一个最简单最好理解的证明方法。”超新星安抚道。
“真的假的，说来听听。”
设f(x)=cosx＋isinx，显然有f(0)=1。
f'(x)=-sinx＋icosx=if(x)
“到这里都没问题吧？”
“嗯嗯。”
“好的，那么由f(0)=1和f'(x)=if(x)这两个条件，请问f(x)是什么呢？”
秦菲看看欧拉公式，再看看这f'(x)，答案已经呼之欲出。
“这样也行？”
“是不是很容易理解？f(x)=e^(ix)=cosx＋isinx，也就是我们的欧拉公式了。”
“这实部和虚部有点像单位圆的坐标啊。”秦菲观察了一会儿。
“的确是这样，不过这里我们就不深入展开了，我们这里学习这个公式主要是为了多项式在复数域上的因式分解。”
“对，不过xⁿ-1和e^(ix)=cosx＋isinx有什么关系？欧拉公式这明显跟角度有关啊，左边这式子哪来的角度？”
“给个提示，可以对e^(ix)进行代换，五分钟想一想，没思路的话我再来说。”
“行，我自己摸索一会儿。”
当x=π，e^(πi)=-1。
当x=2π，e^(2πi)=1。
如果把1=e^(2πi)代入xⁿ-1=0中间呢？
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