第二十七章 初等对称多项式的表示
欧拉公式中，当x=2π，e^(2πi)=1。
将1=e^(2πi)代入xⁿ-1=0中，得x=e^(2πi/n)。
此时再看e^(ix)=cosx＋isinx，将x=2π/n代入有e^(2πi/n)=cos(2π/n)＋isin(2π/n)。
即x=cos(2π/n)＋isin(2π/n)。
“这就是根了，那设ak=cos(2π/k)＋isin(2π/k)，因式分解也就出来了。”
xⁿ-1=(x-a1)(x-a2)...(x-an)。
“这样对不对？”秦菲其实也不确定，但是以她的水平也就只能写到这里。
“你代几个数进去看看。”
“好像不太对。”秦菲察觉到自己似乎不能用k来代替n。
“你把cos(2π/n)＋isin(2π/n)平方一下，观察观察。”超新星说。
x=cos(2π/n)＋isin(2π/n)
x²=cos²(2π/n)-sin²(2π/n)+2isin(2π/n)cos(2π/n)=cos(4π/n)＋isin(4π/n)
“x的k次方等于cos(2kπ/n)＋isin(2kπ/n)，那我设错了，这样是不是就对了？“秦菲修改了一下。
设ak=cos(2kπ/n)＋isin(2kπ/n)，xⁿ-1=(x-a1)(x-a2)...(x-an)
“正确的，其实这里面还有一个规律。”
当n=奇数，an^i+an^(n-i)=2cos(2πi/n)是实数，i=1，2，...，(n-1)/2。
秦菲试着算了一下n=3的情况，发现确实符合这个等式。
“所以，有什么用吗？”
“当把n是奇数和n是偶数的情况分开讨论，会有是一些不同的形式。”
当n为奇数时。
xⁿ-1=(x-1)[x²-(an+an^(n-1))x+1][x²-(an²+an^(n-2))x+1]...[x²-(an^[(n-1)/2]+an^[(n+1)/2])x+1]
当n为偶数时。
xⁿ-1=(x+1)(x-1)[x²-(an+an^(n-1))x+1][x²-(an²+an^(n-2))x+1]...[x²-(an^[(n-2)/2]+an^[(n+2)/2])x+1]
“要记吗？”秦菲看着这复杂的公式，有些头疼。
“看看就行，下一题。”
Q17：用初等对称多项式表示f（x1，x2，x3）=（x1-x2）²（x1-x3）²（x2-x3）²。
σ1=x1+x2+x3；
σ2=x1x2+x1x3+x2x3
σ3=x1x2x3
如果将这个多项式全部展开然后一一对应，这实在是个超级大工程。
“如果把平方抛开，先计算（x1-x2）（x1-x3）（x2-x3）呢？”
去掉平方，秦菲只需要计算八项。
（x1-x2）（x1-x3）（x2-x3）=x1²x2-x1²x3+x1x3²-x1x2²+x2²x3-x2x3²
“这个也看不出来啊，不硬算难道只能靠猜吗？”手算六十四项恐怖如斯，就算是秦菲这样经常绕路的新手，不到最后一刻也不愿下笔。
“这题考察的是对称多项式基本定理，我们可以先把首项分离出来，那么观察一下这个多项式，它的首项次数对应的有序数组是什么呢？”
“（4，2，0）。”
（x1-x2）（x1-x3）（x2-x3）的首项次数对应的有序数组显然是（2，1，0），平方后即为（4，2，0）。
“φ1=σ1^(k1-k2)*σ2^(k2-k3)*...σn^kn，套在这里就是首项φ1=∑x1⁴x2²=σ1^(4-2)*σ2^(2-0)*σ3^0=σ1²σ2²，先算算f（x1，x2，x3）-σ1²σ2²的首项。”超新星说。
f（x1，x2，x3）-σ1²σ2²=（x1-x2）²（x1-x3）²（x2-x3）²-（x1+x2+x3）²（x1x2+x1x3+x2x3）²=[（x1-x2）（x1-x3）（x2-x3）+σ1σ2][（x1-x2）（x1-x3）（x2-x3）-σ1σ2]=[x1²x2+x1x3²+x2²x3-（x1²x3+x1x2²+x2x3²）]²-[x1²x2+x1x3²+x2²x3+x1²x3+x1x2²+x2x3²+3x1x2x3]²=-[2（x1²x2+x1x3²+x2²x3）+3x1x2x3][2（x1²x3+x1x2²+x2x3²）+3x1x2x3]
“（4，1，1），系数为-4。”虽然这式子看起来复杂，但只是锁定首项的话难度并不高。
φ2=∑x1⁴x2x3=-4σ1^(4-1)*σ2^(1-1)*σ3^1=-4σ1³σ3。
f（x1，x2，x3）-σ1²σ2²+4σ1³σ3=-[2（x1²x2+x1x3²+x2²x3）+3x1x2x3][2（x1²x3+x1x2²+x2x3²）+3x1x2x3]+4（x1+x2+x3）³x1x2x3=-[2（x1²x2+x1x3²+x2²x3）+3x1x2x3][2（x1²x3+x1x2²+x2x3²）+3x1x2x3]+4（x1²+x2²+x3²+2x1x2+2x1x3+2x2x3）（x1²x2x3+x1x2²x3+x1x2x3²）
“接下来就是（3，3，0）了，系数是-4。”秦菲渐渐熟悉起了流程。
φ3=∑x1³x2³=-4σ1^(3-3)*σ2^(3-0)*σ3^0=-4σ2³。
f（x1，x2，x3）-σ1²σ2²+4σ1³σ3+4σ2³=-[2（x1²x2+x1x3²+x2²x3）+3x1x2x3][2（x1²x3+x1x2²+x2x3²）+3x1x2x3]+4（x1²+x2²+x3²+2x1x2+2x1x3+2x2x3）（x1²x2x3+x1x2²x3+x1x2x3²）+4（x1x2+x1x3+x2x3）³=-[2（x1²x2+x1x3²+x2²x3）+3x1x2x3][2（x1²x3+x1x2²+x2x3²）+3x1x2x3]+4[（x1²+x2²+x3²+2x1x2+2x1x3+2x2x3）（x1²x2x3+x1x2²x3+x1x2x3²）+（x1x2+x1x3+x2x3）（x1²x2²+x1²x3²+x2²x3²+2x1²x2x3+2x1x2²x3+2x1x2x3²）]
“（3，3，0）之后就是（3，2，1）了，系数应该是-6+4+8+4+8=18。”
φ4=∑x1³x2²x3=-4σ1^(3-2)*σ2^(2-1)*σ3^1=18σ1σ2σ3。
f（x1，x2，x3）-σ1²σ2²+4σ1³σ3+4σ2³-18σ1σ2σ3=-[2（x1²x2+x1x3²+x2²x3）+3x1x2x3][2（x1²x3+x1x2²+x2x3²）+3x1x2x3]+4[（x1²+x2²+x3²+2x1x2+2x1x3+2x2x3）（x1²x2x3+x1x2²x3+x1x2x3²）+（x1x2+x1x3+x2x3）（x1²x2²+x1²x3²+x2²x3²+2x1²x2x3+2x1x2²x3+2x1x2x3²）]-18（x1+x2+x3）（x1x2+x1x3+x2x3）x1x2x3
“（3，2，1）之后就只有（2，2，2），系数是-3x4-9+4x[6+6]-18x3=-27。”
φ5=∑x1²x2²x3²=-27σ1^(2-2)*σ2^(2-2)*σ3^2=-27σ3²。
整理得f（x1，x2，x3）=σ1²σ2²-4σ1³σ3-4σ2³+18σ1σ2σ3-27σ3²。
“恭喜，答案正确。”超新星说，“先吃饭吧。”
系统这一提醒，秦菲才去看时间，居然已经下午三点了，她在这题是花了多少时间啊，有点离谱了。
今日午饭是鸡蛋豆腐芹菜牛肉配白米饭。
无意从冷冻区发现的大块牛肉解冻后纹理分明，肉色朱红，秦菲逆着纹理切片，用料酒、生抽、老抽、耗油、盐腌制，将料汁都抓匀渗进肉中，再用香油封住，最后下少许小苏打和淀粉抓匀，放冰箱中备用。
芹菜切小段，豆腐切小块，打三个鸡蛋并搅匀。
热油下牛肉，待变色后捞出，锅中下花椒、干辣椒和豆瓣酱炒香，接着下豆腐和牛肉，加适量料酒、生抽、耗油、辣椒粉和五香粉焖煮。
秦菲把煮熟的米饭装好，屏幕里七彩战队和圣鹰战队的入围赛已经过半，前冠军打野替补发挥神勇，秦菲把一碗热腾腾的鸡蛋豆腐芹菜牛肉从厨房端到书桌上的功夫，他就已经在接受胜者采访了。
“入围赛还真是没什么强度。”要知道，这位在大陆职业联赛可是连中游队伍的首发都竞争不上的，秦菲想到自己的处境，觉得自己这种想法多少有些刻薄，“不管怎么说，这人还是在职业赛场上努力的，好好努力吧，祝你们能够突围成功。”
“这牛肉没味道，下次盐的量得多加点。”那一大块牛肉够秦菲吃半个星期，她切素菜的时候还特意留了一半等晚上再吃一顿。
秦菲整理厨房时看到炒菜时不小心倒多了被扔掉的两勺花椒，脑海里突然想起数年前的场景，那个时候她还不是一个人住，自己当时也是做着什么菜，正要把切掉的菜根丢掉，秦母见状觉得十分可惜，叫秦菲下次不要把这些丢掉。
“哎呀，不要浪费啊，下次吃橘子的时候也是，橘子皮扔在阳台晒一下。”
秦菲点点头，掬起一捧冷水让自己立刻清醒。
那些浅薄的过去对此刻没有任何意思。
超新星对宿主说今天第二场入围赛中，因为去年成功阻击大陆赛区二号种子声名大噪的越城战队被轻松击溃。
“上限都那样，他们赢不赢的，还是关心关心自己吧，下一题。”秦菲说。
将1=e^(2πi)代入xⁿ-1=0中，得x=e^(2πi/n)。
此时再看e^(ix)=cosx＋isinx，将x=2π/n代入有e^(2πi/n)=cos(2π/n)＋isin(2π/n)。
即x=cos(2π/n)＋isin(2π/n)。
“这就是根了，那设ak=cos(2π/k)＋isin(2π/k)，因式分解也就出来了。”
xⁿ-1=(x-a1)(x-a2)...(x-an)。
“这样对不对？”秦菲其实也不确定，但是以她的水平也就只能写到这里。
“你代几个数进去看看。”
“好像不太对。”秦菲察觉到自己似乎不能用k来代替n。
“你把cos(2π/n)＋isin(2π/n)平方一下，观察观察。”超新星说。
x=cos(2π/n)＋isin(2π/n)
x²=cos²(2π/n)-sin²(2π/n)+2isin(2π/n)cos(2π/n)=cos(4π/n)＋isin(4π/n)
“x的k次方等于cos(2kπ/n)＋isin(2kπ/n)，那我设错了，这样是不是就对了？“秦菲修改了一下。
设ak=cos(2kπ/n)＋isin(2kπ/n)，xⁿ-1=(x-a1)(x-a2)...(x-an)
“正确的，其实这里面还有一个规律。”
当n=奇数，an^i+an^(n-i)=2cos(2πi/n)是实数，i=1，2，...，(n-1)/2。
秦菲试着算了一下n=3的情况，发现确实符合这个等式。
“所以，有什么用吗？”
“当把n是奇数和n是偶数的情况分开讨论，会有是一些不同的形式。”
当n为奇数时。
xⁿ-1=(x-1)[x²-(an+an^(n-1))x+1][x²-(an²+an^(n-2))x+1]...[x²-(an^[(n-1)/2]+an^[(n+1)/2])x+1]
当n为偶数时。
xⁿ-1=(x+1)(x-1)[x²-(an+an^(n-1))x+1][x²-(an²+an^(n-2))x+1]...[x²-(an^[(n-2)/2]+an^[(n+2)/2])x+1]
“要记吗？”秦菲看着这复杂的公式，有些头疼。
“看看就行，下一题。”
Q17：用初等对称多项式表示f（x1，x2，x3）=（x1-x2）²（x1-x3）²（x2-x3）²。
σ1=x1+x2+x3；
σ2=x1x2+x1x3+x2x3
σ3=x1x2x3
如果将这个多项式全部展开然后一一对应，这实在是个超级大工程。
“如果把平方抛开，先计算（x1-x2）（x1-x3）（x2-x3）呢？”
去掉平方，秦菲只需要计算八项。
（x1-x2）（x1-x3）（x2-x3）=x1²x2-x1²x3+x1x3²-x1x2²+x2²x3-x2x3²
“这个也看不出来啊，不硬算难道只能靠猜吗？”手算六十四项恐怖如斯，就算是秦菲这样经常绕路的新手，不到最后一刻也不愿下笔。
“这题考察的是对称多项式基本定理，我们可以先把首项分离出来，那么观察一下这个多项式，它的首项次数对应的有序数组是什么呢？”
“（4，2，0）。”
（x1-x2）（x1-x3）（x2-x3）的首项次数对应的有序数组显然是（2，1，0），平方后即为（4，2，0）。
“φ1=σ1^(k1-k2)*σ2^(k2-k3)*...σn^kn，套在这里就是首项φ1=∑x1⁴x2²=σ1^(4-2)*σ2^(2-0)*σ3^0=σ1²σ2²，先算算f（x1，x2，x3）-σ1²σ2²的首项。”超新星说。
f（x1，x2，x3）-σ1²σ2²=（x1-x2）²（x1-x3）²（x2-x3）²-（x1+x2+x3）²（x1x2+x1x3+x2x3）²=[（x1-x2）（x1-x3）（x2-x3）+σ1σ2][（x1-x2）（x1-x3）（x2-x3）-σ1σ2]=[x1²x2+x1x3²+x2²x3-（x1²x3+x1x2²+x2x3²）]²-[x1²x2+x1x3²+x2²x3+x1²x3+x1x2²+x2x3²+3x1x2x3]²=-[2（x1²x2+x1x3²+x2²x3）+3x1x2x3][2（x1²x3+x1x2²+x2x3²）+3x1x2x3]
“（4，1，1），系数为-4。”虽然这式子看起来复杂，但只是锁定首项的话难度并不高。
φ2=∑x1⁴x2x3=-4σ1^(4-1)*σ2^(1-1)*σ3^1=-4σ1³σ3。
f（x1，x2，x3）-σ1²σ2²+4σ1³σ3=-[2（x1²x2+x1x3²+x2²x3）+3x1x2x3][2（x1²x3+x1x2²+x2x3²）+3x1x2x3]+4（x1+x2+x3）³x1x2x3=-[2（x1²x2+x1x3²+x2²x3）+3x1x2x3][2（x1²x3+x1x2²+x2x3²）+3x1x2x3]+4（x1²+x2²+x3²+2x1x2+2x1x3+2x2x3）（x1²x2x3+x1x2²x3+x1x2x3²）
“接下来就是（3，3，0）了，系数是-4。”秦菲渐渐熟悉起了流程。
φ3=∑x1³x2³=-4σ1^(3-3)*σ2^(3-0)*σ3^0=-4σ2³。
f（x1，x2，x3）-σ1²σ2²+4σ1³σ3+4σ2³=-[2（x1²x2+x1x3²+x2²x3）+3x1x2x3][2（x1²x3+x1x2²+x2x3²）+3x1x2x3]+4（x1²+x2²+x3²+2x1x2+2x1x3+2x2x3）（x1²x2x3+x1x2²x3+x1x2x3²）+4（x1x2+x1x3+x2x3）³=-[2（x1²x2+x1x3²+x2²x3）+3x1x2x3][2（x1²x3+x1x2²+x2x3²）+3x1x2x3]+4[（x1²+x2²+x3²+2x1x2+2x1x3+2x2x3）（x1²x2x3+x1x2²x3+x1x2x3²）+（x1x2+x1x3+x2x3）（x1²x2²+x1²x3²+x2²x3²+2x1²x2x3+2x1x2²x3+2x1x2x3²）]
“（3，3，0）之后就是（3，2，1）了，系数应该是-6+4+8+4+8=18。”
φ4=∑x1³x2²x3=-4σ1^(3-2)*σ2^(2-1)*σ3^1=18σ1σ2σ3。
f（x1，x2，x3）-σ1²σ2²+4σ1³σ3+4σ2³-18σ1σ2σ3=-[2（x1²x2+x1x3²+x2²x3）+3x1x2x3][2（x1²x3+x1x2²+x2x3²）+3x1x2x3]+4[（x1²+x2²+x3²+2x1x2+2x1x3+2x2x3）（x1²x2x3+x1x2²x3+x1x2x3²）+（x1x2+x1x3+x2x3）（x1²x2²+x1²x3²+x2²x3²+2x1²x2x3+2x1x2²x3+2x1x2x3²）]-18（x1+x2+x3）（x1x2+x1x3+x2x3）x1x2x3
“（3，2，1）之后就只有（2，2，2），系数是-3x4-9+4x[6+6]-18x3=-27。”
φ5=∑x1²x2²x3²=-27σ1^(2-2)*σ2^(2-2)*σ3^2=-27σ3²。
整理得f（x1，x2，x3）=σ1²σ2²-4σ1³σ3-4σ2³+18σ1σ2σ3-27σ3²。
“恭喜，答案正确。”超新星说，“先吃饭吧。”
系统这一提醒，秦菲才去看时间，居然已经下午三点了，她在这题是花了多少时间啊，有点离谱了。
今日午饭是鸡蛋豆腐芹菜牛肉配白米饭。
无意从冷冻区发现的大块牛肉解冻后纹理分明，肉色朱红，秦菲逆着纹理切片，用料酒、生抽、老抽、耗油、盐腌制，将料汁都抓匀渗进肉中，再用香油封住，最后下少许小苏打和淀粉抓匀，放冰箱中备用。
芹菜切小段，豆腐切小块，打三个鸡蛋并搅匀。
热油下牛肉，待变色后捞出，锅中下花椒、干辣椒和豆瓣酱炒香，接着下豆腐和牛肉，加适量料酒、生抽、耗油、辣椒粉和五香粉焖煮。
秦菲把煮熟的米饭装好，屏幕里七彩战队和圣鹰战队的入围赛已经过半，前冠军打野替补发挥神勇，秦菲把一碗热腾腾的鸡蛋豆腐芹菜牛肉从厨房端到书桌上的功夫，他就已经在接受胜者采访了。
“入围赛还真是没什么强度。”要知道，这位在大陆职业联赛可是连中游队伍的首发都竞争不上的，秦菲想到自己的处境，觉得自己这种想法多少有些刻薄，“不管怎么说，这人还是在职业赛场上努力的，好好努力吧，祝你们能够突围成功。”
“这牛肉没味道，下次盐的量得多加点。”那一大块牛肉够秦菲吃半个星期，她切素菜的时候还特意留了一半等晚上再吃一顿。
秦菲整理厨房时看到炒菜时不小心倒多了被扔掉的两勺花椒，脑海里突然想起数年前的场景，那个时候她还不是一个人住，自己当时也是做着什么菜，正要把切掉的菜根丢掉，秦母见状觉得十分可惜，叫秦菲下次不要把这些丢掉。
“哎呀，不要浪费啊，下次吃橘子的时候也是，橘子皮扔在阳台晒一下。”
秦菲点点头，掬起一捧冷水让自己立刻清醒。
那些浅薄的过去对此刻没有任何意思。
超新星对宿主说今天第二场入围赛中，因为去年成功阻击大陆赛区二号种子声名大噪的越城战队被轻松击溃。
“上限都那样，他们赢不赢的，还是关心关心自己吧，下一题。”秦菲说。
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