第二十八章 最后一题
Q18：设α1，α2，α3是5x³-6x²+7x-8=0的三个根，计算f（α1，α2，α3）=（α1²+α1α2+α2²）（α2²+α2α3+α3²）（α1²+α1α3+α3²）。
对称多项式中根与系数的关系如下：
a1=-6/5=α1+α2+α3=σ1
a2=7/5=α1α2+α1α3+α2α3=σ2
a3=-（-8/5）=α1α2α3=σ3
“本质上和上一题一样，都是化成初等对称多项式的表示。”比起上一题的计算量，这一题明显轻松许多，秦菲很快就锁定了首项次数对应的有序数组，“和上一题一样，都是（4，2，0），系数也是1。”
φ1=∑x1⁴x2²=σ1^(4-2)*σ2^(2-0)*σ3^0=σ1²σ2²。
f（α1，α2，α3）-σ1²σ2²=（α1²+α1α2+α2²）（α2²+α2α3+α3²）（α1²+α1α3+α3²）-（α1+α2+α3）²（α1α2+α1α3+α2α3）²
“然后是（4，1，1），系数是1-2=-1。”
φ2=∑x1⁴x2x3=-σ1^(4-1)*σ2^(1-1)*σ3^1=-σ1³σ3。
f（α1，α2，α3）-σ1²σ2²+σ1³σ3=（α1²+α1α2+α2²）（α2²+α2α3+α3²）（α1²+α1α3+α3²）-（α1+α2+α3）²[α1²α2²+α1²α3²+α2²α3²+α1²α2α3+α1α2²α3+α1α2α3²]
“然后是（3，3，0），系数也是1-2=-1。”
φ2=∑x1³x2³=-σ1^(3-3)*σ2^(3-0)*σ3^0=-σ2³。
f（α1，α2，α3）-σ1²σ2²+σ1³σ3+σ2³=（α1²+α1α2+α2²）（α2²+α2α3+α3²）（α1²+α1α3+α3²）+[α1²+α2²+α3²+α1α2+α1α3+α2α3][（α1+α2+α3）α1α2α3-（α1α2+α1α3+α2α3）²]+（α1α2+α1α3+α2α3）（α1+α2+α3）α1α2α3
“接着是（3，2，1），系数等于2+[2-5]+1=0。”
则f（α1，α2，α3）=σ1²σ2²-σ1³σ3-σ2³。
将σ1=-6/5，σ2=7/5，σ3=8/5代入，得：
f（α1，α2，α3）=（-6/5）²（7/5）²-（-6/5）³*8/5-（7/5）³=-1679/625
“正确，这类题目计算量都不会小，辛苦啦，本章习题就剩最后一题了，加油。”
Q19：证明：三次方程x³+a1x²+a2x+a3=0的三个根成等差数列的充分必要条件为2a1³-9a1a2+27a3=0。
“好像也是和根与系数的关系有关。”秦菲试着写了起来。
①必要性。
条件：三次方程x³+a1x²+a2x+a3=0的三个根成等差数列。
设方程的三个根为x1，x2，x3，不妨设x1>x2>x3，x1=x2+m=x3+2m，m为非零常数。
根据根与系数的关系，可知：
-a1=x1+x2+x3=3x3+3m
a2=x1x2+x1x3+x2x3=3x3²+6mx3+2m²
-a3=x1x2x3=x3³+3mx3²+2m²x3
将a1=-3（x3+m），a2=3x3²+6mx3+2m²，a3=-（x3³+3mx3²+2m²x3）代入2a1³-9a1a2+27a3，得：
2a1³-9a1a2+27a3=2*3³（x3+m）³+9*3（x3+m）（3x3²+6mx3+2m²）-27（x3³+3mx3²+2m²x3）=-27（x3+m）[2（x3+m）²-（3x3²+6mx3+2m²）+（x3+2m）x3]=0
即2a1³-9a1a2+27a3=0。
①充分性。
条件：x³+a1x²+a2x+a3=0中的系数满足2a1³-9a1a2+27a3=0。
同样的，根据根与系数的关系，有：
-a1=x1+x2+x3
a2=x1x2+x1x3+x2x3
-a3=x1x2x3
将上述三式代入2a1³-9a1a2+27a3=0得：
2（x1+x2+x3）³+9（x1x2+x1x3+x2x3）x1x2x3+27x1x2x3=0
“展开感觉没什么用，如果说用反证法，也就是2a1³-9a1a2+27a3=0，方程的三个根不是等差数列，我们随便代一个等差数列进去，比如说-1，0，1，上式显然等于0，矛盾，所以方程的三个根成等差数列。”
“确实是做出来了，但是你不觉得麻烦吗？”超新星问。
“是有点，所以你这里有什么更好的办法吗？”秦菲问。
“三个数成等差数列，它有一个很关键的性质能把三个数串联起来，这个式子是什么呢？”超新星问。
“就相差一个一样的数啊。”
“那还是不能写成一个式子，如果是只能用一个式子来表达这三个数的关系呢？”
“一个式子，那就是x1+x3=2x2，这样？”
“没错，这样我们就可以得到x1=（x2+x3）/2，x2=（x1+x3）/2，x3=（x2+x1）/2这三个关系式。”
“得到了有什么用呢？”秦菲没看出来其中的关联。
“我们让等式的一边为0，即2x1-（x2+x3）=0，2x2-（x1+x3）=0，2x3-（x2+x1）=0，这三个等式的左边有什么关系？”
“左边的关系，至少有一个为0。”
“没错，这样我们就有[2x1-（x2+x3）][2x2-（x1+x3）][2x3-（x2+x1）]=0，然后我们把这个式子用初等对称多项式表示出来，结果是2σ1³-9σ1σ2+27σ3，也就是充分性证明中你带入根与系数关系式得到的结果。”
“然后反向代回去？”
“没错，根据根与系数多项式，代进去得到2a1³-9a1a2+27a3=0，这就是我们要证明的充要条件。”
“你这个......我怎么感觉这么做就有点因为我知道这个式子是这么得到的，所以我这么做，而不是我不知道这个式子是这样来的，我做着做着发现了。”秦菲说。
“很多题目都是这样的，高等代数是这样，数学分析也是这样，你之前不知道，现在不是知道了吗？”
“那我就记住呗，是这个意思吗？”
“能记住最好，让我们来看下一题吧。”超新星说着就要把新的题板往上拉。
“等等，你刚才说了最后一题对吧。”
“是的，刚才那一题是第一章习题的最后一题，现在宿主您将要开始做的是第一章的补充题。”
“补充题？还有这种东西啊，好吧，我先问问，题量有多少？”秦菲麻了。
“题量大概在习题的三分之二左右，我会根据宿主您的当前水平准备合适的题目。”
“行，那上题吧，这都快九点了，也不知道今天能不能做完。”
T1：证明：只要f（x）/（f（x），g（x）），g（x）/（f（x），g（x））的次数都大于零，就可以适当选择等式u（x）f（x）+v（x）g（x）=（f（x），g（x））的u（x）与v（x）使∂（u（x））<∂（g（x）/（f（x），g（x））），∂（v（x））<∂（f（x）/（f（x），g（x）））。
“这一看显然就可以吧，涉及到的定理就是d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)，d(x)是P[x]中任意两个多项式f(x)，g(x)的最大公因式，然后d(x)，u(x)和v(x)∈P[x]，问题是该怎么写呢？”秦菲把题中的（f（x），g（x））移到另一边后就没了思路，道理她都懂，过程怎么编呀？，“我想想，让我先想想。”
对称多项式中根与系数的关系如下：
a1=-6/5=α1+α2+α3=σ1
a2=7/5=α1α2+α1α3+α2α3=σ2
a3=-（-8/5）=α1α2α3=σ3
“本质上和上一题一样，都是化成初等对称多项式的表示。”比起上一题的计算量，这一题明显轻松许多，秦菲很快就锁定了首项次数对应的有序数组，“和上一题一样，都是（4，2，0），系数也是1。”
φ1=∑x1⁴x2²=σ1^(4-2)*σ2^(2-0)*σ3^0=σ1²σ2²。
f（α1，α2，α3）-σ1²σ2²=（α1²+α1α2+α2²）（α2²+α2α3+α3²）（α1²+α1α3+α3²）-（α1+α2+α3）²（α1α2+α1α3+α2α3）²
“然后是（4，1，1），系数是1-2=-1。”
φ2=∑x1⁴x2x3=-σ1^(4-1)*σ2^(1-1)*σ3^1=-σ1³σ3。
f（α1，α2，α3）-σ1²σ2²+σ1³σ3=（α1²+α1α2+α2²）（α2²+α2α3+α3²）（α1²+α1α3+α3²）-（α1+α2+α3）²[α1²α2²+α1²α3²+α2²α3²+α1²α2α3+α1α2²α3+α1α2α3²]
“然后是（3，3，0），系数也是1-2=-1。”
φ2=∑x1³x2³=-σ1^(3-3)*σ2^(3-0)*σ3^0=-σ2³。
f（α1，α2，α3）-σ1²σ2²+σ1³σ3+σ2³=（α1²+α1α2+α2²）（α2²+α2α3+α3²）（α1²+α1α3+α3²）+[α1²+α2²+α3²+α1α2+α1α3+α2α3][（α1+α2+α3）α1α2α3-（α1α2+α1α3+α2α3）²]+（α1α2+α1α3+α2α3）（α1+α2+α3）α1α2α3
“接着是（3，2，1），系数等于2+[2-5]+1=0。”
则f（α1，α2，α3）=σ1²σ2²-σ1³σ3-σ2³。
将σ1=-6/5，σ2=7/5，σ3=8/5代入，得：
f（α1，α2，α3）=（-6/5）²（7/5）²-（-6/5）³*8/5-（7/5）³=-1679/625
“正确，这类题目计算量都不会小，辛苦啦，本章习题就剩最后一题了，加油。”
Q19：证明：三次方程x³+a1x²+a2x+a3=0的三个根成等差数列的充分必要条件为2a1³-9a1a2+27a3=0。
“好像也是和根与系数的关系有关。”秦菲试着写了起来。
①必要性。
条件：三次方程x³+a1x²+a2x+a3=0的三个根成等差数列。
设方程的三个根为x1，x2，x3，不妨设x1>x2>x3，x1=x2+m=x3+2m，m为非零常数。
根据根与系数的关系，可知：
-a1=x1+x2+x3=3x3+3m
a2=x1x2+x1x3+x2x3=3x3²+6mx3+2m²
-a3=x1x2x3=x3³+3mx3²+2m²x3
将a1=-3（x3+m），a2=3x3²+6mx3+2m²，a3=-（x3³+3mx3²+2m²x3）代入2a1³-9a1a2+27a3，得：
2a1³-9a1a2+27a3=2*3³（x3+m）³+9*3（x3+m）（3x3²+6mx3+2m²）-27（x3³+3mx3²+2m²x3）=-27（x3+m）[2（x3+m）²-（3x3²+6mx3+2m²）+（x3+2m）x3]=0
即2a1³-9a1a2+27a3=0。
①充分性。
条件：x³+a1x²+a2x+a3=0中的系数满足2a1³-9a1a2+27a3=0。
同样的，根据根与系数的关系，有：
-a1=x1+x2+x3
a2=x1x2+x1x3+x2x3
-a3=x1x2x3
将上述三式代入2a1³-9a1a2+27a3=0得：
2（x1+x2+x3）³+9（x1x2+x1x3+x2x3）x1x2x3+27x1x2x3=0
“展开感觉没什么用，如果说用反证法，也就是2a1³-9a1a2+27a3=0，方程的三个根不是等差数列，我们随便代一个等差数列进去，比如说-1，0，1，上式显然等于0，矛盾，所以方程的三个根成等差数列。”
“确实是做出来了，但是你不觉得麻烦吗？”超新星问。
“是有点，所以你这里有什么更好的办法吗？”秦菲问。
“三个数成等差数列，它有一个很关键的性质能把三个数串联起来，这个式子是什么呢？”超新星问。
“就相差一个一样的数啊。”
“那还是不能写成一个式子，如果是只能用一个式子来表达这三个数的关系呢？”
“一个式子，那就是x1+x3=2x2，这样？”
“没错，这样我们就可以得到x1=（x2+x3）/2，x2=（x1+x3）/2，x3=（x2+x1）/2这三个关系式。”
“得到了有什么用呢？”秦菲没看出来其中的关联。
“我们让等式的一边为0，即2x1-（x2+x3）=0，2x2-（x1+x3）=0，2x3-（x2+x1）=0，这三个等式的左边有什么关系？”
“左边的关系，至少有一个为0。”
“没错，这样我们就有[2x1-（x2+x3）][2x2-（x1+x3）][2x3-（x2+x1）]=0，然后我们把这个式子用初等对称多项式表示出来，结果是2σ1³-9σ1σ2+27σ3，也就是充分性证明中你带入根与系数关系式得到的结果。”
“然后反向代回去？”
“没错，根据根与系数多项式，代进去得到2a1³-9a1a2+27a3=0，这就是我们要证明的充要条件。”
“你这个......我怎么感觉这么做就有点因为我知道这个式子是这么得到的，所以我这么做，而不是我不知道这个式子是这样来的，我做着做着发现了。”秦菲说。
“很多题目都是这样的，高等代数是这样，数学分析也是这样，你之前不知道，现在不是知道了吗？”
“那我就记住呗，是这个意思吗？”
“能记住最好，让我们来看下一题吧。”超新星说着就要把新的题板往上拉。
“等等，你刚才说了最后一题对吧。”
“是的，刚才那一题是第一章习题的最后一题，现在宿主您将要开始做的是第一章的补充题。”
“补充题？还有这种东西啊，好吧，我先问问，题量有多少？”秦菲麻了。
“题量大概在习题的三分之二左右，我会根据宿主您的当前水平准备合适的题目。”
“行，那上题吧，这都快九点了，也不知道今天能不能做完。”
T1：证明：只要f（x）/（f（x），g（x）），g（x）/（f（x），g（x））的次数都大于零，就可以适当选择等式u（x）f（x）+v（x）g（x）=（f（x），g（x））的u（x）与v（x）使∂（u（x））<∂（g（x）/（f（x），g（x））），∂（v（x））<∂（f（x）/（f（x），g（x）））。
“这一看显然就可以吧，涉及到的定理就是d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)，d(x)是P[x]中任意两个多项式f(x)，g(x)的最大公因式，然后d(x)，u(x)和v(x)∈P[x]，问题是该怎么写呢？”秦菲把题中的（f（x），g（x））移到另一边后就没了思路，道理她都懂，过程怎么编呀？，“我想想，让我先想想。”
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