第十三章 算学众相
这日终于上了开学以来的第一堂算学课。
太史监监生几门主要功课每年皆有一次大考，据考试成绩及平时表现评为上、中、下三等，而朝廷对优生予以嘉奖也是藉此标准。其中下等也便是不合格，来年还得重修。据说，历来令众多学子饮恨重来的一门功课，算学若称其二，便找不出个第一了。
果真是凶名在外，孟灼因发现教室中氛围都为之一变。授课的算学博士还没来，也无人叽叽喳喳，各个笔墨纸砚齐全，低头簌簌翻书。不过这门课上倒不见白庆宵，只有坐在一旁的徐文卷愁闷地叹气不迭。
不一会钟鸣，进来一个头戴儒巾、脚步轻快的先生，看上去年届不惑，动作利索，打开书便入了正题。
“诸君幸会了，不才姓秦，这一学年的算学课便由秦某为大家讲授，多指教了。”
秦博士一瞅这教室中众人，只见除去重修的，草草还有四十来位，“哎呦，师掾今岁额外多招了不少学生嘛。看来明年人也多了。”
孟灼因只觉得旁边的徐文卷身躯僵硬了。秦博士这句不吉利的话一出，教室里更是鸦雀无声。
“诸位安啦，秦某不为难你们——只要你们不为难秦某，”秦博士笑笑，扬扬书本，“今日要学《周髀算经》，算经十书中第一部，最古老最基础的一部。”
秦博士指指讲台上厚厚一摞书，“这十书，只是算学基础；几年后你们还要学更加深奥的《数书九章》《测海圆镜》等等，所以十部算经我们并不全学。不知列位有没有预先看看？说是十书，其实赘余重复颇多。
“其中既讲天文又讲数术的，《周髀》《缀术》，灵台诸生是必修的。《缀术》是十书中最是深奥，隔壁国子监算学只作为选修。
“算学一道，‘理’与‘用’兼之。十书中注重应用的占多数，有《九章算术》《孙子》《张丘建》等，都是各类应用题集，方法术文。《九章》必修之外，你们还需选修几本……”
“但这类算书，都是教人依葫芦画瓢罢了，看多了也是无趣。尤其是《五曹算经》之流，呵，五曹是哪五曹？”秦博士深恶痛绝道，“田曹、兵曹、仓曹、集曹、金曹，手把手教人分配田亩、调度辎重、谷物储藏、市井贸易、金银变易的计算，情景简单至极，不超过加减乘除，于算术上毫无新意、于道理上毫无建树！现在沦为那些算数不通的胥吏的‘肘后备急方’了。”
孟灼因听见徐文卷在那幽怨地小声嘟囔：“……唯一一本我会的……”
秦博士边走边说，随手敲敲一个重修的学子的头，哂道：“这些看多了，脑子容易变直。算学这门课，道理是本，本立而道生，明白道理就用得好。”
秦博士走到教室墙壁上贴着的大白纸前，捉袖提笔写下：
圆方
勾股
孟灼因又听见有人嘀咕“活像写丧报”，乐了。
“咱们开门见山，今日先讲周公与商高的问答，你们熟悉的勾股术。诸位应该都已学过勾股术？”
有学生前前后后地答：“学过。”
秦博士随口道：“勾三，股四？”
又有学生稀稀落落地答：“弦五。”
“广五，修十二？”
“斜十三。”
“不错。《周髀》中的道理如今看来已经十分简单，你们本可自学。但首先，其中对数术在天文上的应用可谓开宗明义，盖天说、四分历法、日高、重差……其次，它又吝啬笔墨，言约古奥，‘商高答周公问’用一百六十八言就讲完了勾股，还包括着二人的一点废话；最后，年代已远，当时的不少错误，现在须得讲明白了。但会很快带过，主要时间会花在《缀术》上。第一节先读一遍来——怎么有的人书都还没翻开？”
“昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度。请问数安从出？”
商高曰：“数之法，出于圆方。圆出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之外，半其一矩。环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。””
秦博士道：“这里面讲‘圆’‘方’‘矩’，常言道‘无规矩不成方圆’，规、矩是画圆、方的工具。《周髀》中‘矩’则是指矩形。这段话里关键之处就是，圆可以转化为方，而方又能转化为矩形；天圆地方，天地万物都非圆即方。
“《周髀》中，圆方相通之率，是‘圆径一而周三’，‘方径一而匝四’。于是，你们看看，圆周、方匝两者各自乘，相加，再开之，便是弦五！二，三，四，五，多圆满的一串数啊！真是妙不可言。”
“妙……”那秦博士旁边的学子信口附和道。
秦博士就板着脸道：“妙什么妙，古人的水平有限，这圆率是错的！我们现在已经有了祖率，圆径一丈，则圆周约为三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽[①]。比起三丈来，这一尺多虽小，你却不可小看，差之毫厘，谬以千里啊。所以这整部书用到圆率的，都要小心。”
他念这一长串数都不带喘气的，听得一些学子两眼发直。
“接下来商高所言便是勾股的证明之法，用的出入相补之法……”
断断续续讲了一会，秦博士狐疑地看看这些神态各异的学生，又写起他那“丧报”：
考校
“牛刀小试一下，翻到《九章算术》勾股章。勾股最常用也便是测高深广远，半刻钟内你们解一下第五、六、七、八、十三问。答和术语[②]我特意分册了，不可翻看，随堂小考，一会就检查。”
“五”今有木长二丈，围之三尺。葛生其下，缠木七周，上与木齐。问葛长几何？
“六”今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长几何？
“七”今有立木，索系其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽。问索长几何？
……
“第五题，葛缠圆木……”徐文卷揪着笔头，心里慢慢地想。他十分有自知之明，都不敢去看别人写到哪了，只怕一见就被打击到心碎。
但他想了一会仍是毫无头绪，干脆格物致知，就把笔搁下，在纸上撕起细长的一条边，开始绕着笔杆缠，好不容易缠到第六圈了，一个影子移过来，挡住了他桌上的光。
徐文卷吓得手一抖，笔杆就掉到桌子下了，骨碌滚到了孟灼因边上，还没抬头，就听见秦博士忍俊不禁的隐约笑声。
秦博士刚才四处走走，只见众学子都拿着笔疾书，这边却有个倒笔杆的。他走过了一瞧，一时竟被这家伙逗笑了，他都不好苛责了：“啧啧，别人动脑你动手啊……都已经这样了，怎么就还想不通？你瞧瞧这长纸条作展开的葛藤，不就是股，这笔杆不就是勾……”说罢就摇头叹息走了，还顺道走到旁边学生的桌子边给他捡了笔。
秦博士顺路一看，就见这坐在旁边的学生却已经刷刷写到最后一题了，道：“哎呦，算得挺快嘛。这赤手空拳，胜似算盘在手啊……不过算错了一道。”
孟灼因赧然笑笑。
秦博士走着又有新发现，不禁挑眉：“你已经学过天元术[③]？用来解这已知股弦之差的第六问倒也可行……不过你难道没看出这第六和第七其实都是已知股弦差与勾的问题，怎么又用了老方法呢？”
郑庸坦然道：“若但用一法，照猫画虎，十分无趣。”
……
四分之一刻钟一会就过了。对了答案，秦博士只看得痛心疾首：“‘学过’‘学过’，我看你们许多人是只学了一句‘勾三股四弦五’！怎么写得这般东倒西歪？这已经是勾股术最简单的题了，勾股术又是尤为简单的内容，你们以后可怎么办……”
徐文卷只有笑笑了。他也不能哭嘛。
钟鸣了，徐文卷之流刚松了口气，秦博士一句话又把这口气噎死在了他们喉咙里：“鉴于此前算学重修人数过多，师掾慷慨多给了个课时。下节课还是我秦某人。”
“你们小学的夫子到底给你们教的什么勾股？都画验证勾股术的图来看看。圆方图、弦图随你们怎样，得说出个道理分明来。”
众人又开始抓耳饶腮起来，秦博士又在学生中四处游荡，逮着一个问上几句，搞得人人自危。
“亭芳，你刚才第六题会做，第七题怎么写错了？术文看明白了吗？”
“明、明白了。虽然术文先后略有差别，但这两题其实相似……”
“嗯，那你把第七题的解法用第六题的术文形式说给我听。”
这学生磕磕绊绊道：“去本自乘，以委地数自乘……并之。和，倍委数除之，即得索长。”[④]
“可以。只别是照猫画虎了，你可明白第六第七之间的异同？”
“股弦差自乘，股自乘……二者相加，而后云云求出的是弦；二者相减，而后同样方法求出的是勾。”
“很好。那我问你，术文里‘以出水一尺自乘，减之’，那要是减后为负呢？”
“那……那换过来用大者去减小者……”
“荒诞！一钓就上钩！？勾股弦，二者之差必定小于第三者，根基都忘了！……”
太史监监生几门主要功课每年皆有一次大考，据考试成绩及平时表现评为上、中、下三等，而朝廷对优生予以嘉奖也是藉此标准。其中下等也便是不合格，来年还得重修。据说，历来令众多学子饮恨重来的一门功课，算学若称其二，便找不出个第一了。
果真是凶名在外，孟灼因发现教室中氛围都为之一变。授课的算学博士还没来，也无人叽叽喳喳，各个笔墨纸砚齐全，低头簌簌翻书。不过这门课上倒不见白庆宵，只有坐在一旁的徐文卷愁闷地叹气不迭。
不一会钟鸣，进来一个头戴儒巾、脚步轻快的先生，看上去年届不惑，动作利索，打开书便入了正题。
“诸君幸会了，不才姓秦，这一学年的算学课便由秦某为大家讲授，多指教了。”
秦博士一瞅这教室中众人，只见除去重修的，草草还有四十来位，“哎呦，师掾今岁额外多招了不少学生嘛。看来明年人也多了。”
孟灼因只觉得旁边的徐文卷身躯僵硬了。秦博士这句不吉利的话一出，教室里更是鸦雀无声。
“诸位安啦，秦某不为难你们——只要你们不为难秦某，”秦博士笑笑，扬扬书本，“今日要学《周髀算经》，算经十书中第一部，最古老最基础的一部。”
秦博士指指讲台上厚厚一摞书，“这十书，只是算学基础；几年后你们还要学更加深奥的《数书九章》《测海圆镜》等等，所以十部算经我们并不全学。不知列位有没有预先看看？说是十书，其实赘余重复颇多。
“其中既讲天文又讲数术的，《周髀》《缀术》，灵台诸生是必修的。《缀术》是十书中最是深奥，隔壁国子监算学只作为选修。
“算学一道，‘理’与‘用’兼之。十书中注重应用的占多数，有《九章算术》《孙子》《张丘建》等，都是各类应用题集，方法术文。《九章》必修之外，你们还需选修几本……”
“但这类算书，都是教人依葫芦画瓢罢了，看多了也是无趣。尤其是《五曹算经》之流，呵，五曹是哪五曹？”秦博士深恶痛绝道，“田曹、兵曹、仓曹、集曹、金曹，手把手教人分配田亩、调度辎重、谷物储藏、市井贸易、金银变易的计算，情景简单至极，不超过加减乘除，于算术上毫无新意、于道理上毫无建树！现在沦为那些算数不通的胥吏的‘肘后备急方’了。”
孟灼因听见徐文卷在那幽怨地小声嘟囔：“……唯一一本我会的……”
秦博士边走边说，随手敲敲一个重修的学子的头，哂道：“这些看多了，脑子容易变直。算学这门课，道理是本，本立而道生，明白道理就用得好。”
秦博士走到教室墙壁上贴着的大白纸前，捉袖提笔写下：
圆方
勾股
孟灼因又听见有人嘀咕“活像写丧报”，乐了。
“咱们开门见山，今日先讲周公与商高的问答，你们熟悉的勾股术。诸位应该都已学过勾股术？”
有学生前前后后地答：“学过。”
秦博士随口道：“勾三，股四？”
又有学生稀稀落落地答：“弦五。”
“广五，修十二？”
“斜十三。”
“不错。《周髀》中的道理如今看来已经十分简单，你们本可自学。但首先，其中对数术在天文上的应用可谓开宗明义，盖天说、四分历法、日高、重差……其次，它又吝啬笔墨，言约古奥，‘商高答周公问’用一百六十八言就讲完了勾股，还包括着二人的一点废话；最后，年代已远，当时的不少错误，现在须得讲明白了。但会很快带过，主要时间会花在《缀术》上。第一节先读一遍来——怎么有的人书都还没翻开？”
“昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度。请问数安从出？”
商高曰：“数之法，出于圆方。圆出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之外，半其一矩。环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。””
秦博士道：“这里面讲‘圆’‘方’‘矩’，常言道‘无规矩不成方圆’，规、矩是画圆、方的工具。《周髀》中‘矩’则是指矩形。这段话里关键之处就是，圆可以转化为方，而方又能转化为矩形；天圆地方，天地万物都非圆即方。
“《周髀》中，圆方相通之率，是‘圆径一而周三’，‘方径一而匝四’。于是，你们看看，圆周、方匝两者各自乘，相加，再开之，便是弦五！二，三，四，五，多圆满的一串数啊！真是妙不可言。”
“妙……”那秦博士旁边的学子信口附和道。
秦博士就板着脸道：“妙什么妙，古人的水平有限，这圆率是错的！我们现在已经有了祖率，圆径一丈，则圆周约为三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽[①]。比起三丈来，这一尺多虽小，你却不可小看，差之毫厘，谬以千里啊。所以这整部书用到圆率的，都要小心。”
他念这一长串数都不带喘气的，听得一些学子两眼发直。
“接下来商高所言便是勾股的证明之法，用的出入相补之法……”
断断续续讲了一会，秦博士狐疑地看看这些神态各异的学生，又写起他那“丧报”：
考校
“牛刀小试一下，翻到《九章算术》勾股章。勾股最常用也便是测高深广远，半刻钟内你们解一下第五、六、七、八、十三问。答和术语[②]我特意分册了，不可翻看，随堂小考，一会就检查。”
“五”今有木长二丈，围之三尺。葛生其下，缠木七周，上与木齐。问葛长几何？
“六”今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长几何？
“七”今有立木，索系其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽。问索长几何？
……
“第五题，葛缠圆木……”徐文卷揪着笔头，心里慢慢地想。他十分有自知之明，都不敢去看别人写到哪了，只怕一见就被打击到心碎。
但他想了一会仍是毫无头绪，干脆格物致知，就把笔搁下，在纸上撕起细长的一条边，开始绕着笔杆缠，好不容易缠到第六圈了，一个影子移过来，挡住了他桌上的光。
徐文卷吓得手一抖，笔杆就掉到桌子下了，骨碌滚到了孟灼因边上，还没抬头，就听见秦博士忍俊不禁的隐约笑声。
秦博士刚才四处走走，只见众学子都拿着笔疾书，这边却有个倒笔杆的。他走过了一瞧，一时竟被这家伙逗笑了，他都不好苛责了：“啧啧，别人动脑你动手啊……都已经这样了，怎么就还想不通？你瞧瞧这长纸条作展开的葛藤，不就是股，这笔杆不就是勾……”说罢就摇头叹息走了，还顺道走到旁边学生的桌子边给他捡了笔。
秦博士顺路一看，就见这坐在旁边的学生却已经刷刷写到最后一题了，道：“哎呦，算得挺快嘛。这赤手空拳，胜似算盘在手啊……不过算错了一道。”
孟灼因赧然笑笑。
秦博士走着又有新发现，不禁挑眉：“你已经学过天元术[③]？用来解这已知股弦之差的第六问倒也可行……不过你难道没看出这第六和第七其实都是已知股弦差与勾的问题，怎么又用了老方法呢？”
郑庸坦然道：“若但用一法，照猫画虎，十分无趣。”
……
四分之一刻钟一会就过了。对了答案，秦博士只看得痛心疾首：“‘学过’‘学过’，我看你们许多人是只学了一句‘勾三股四弦五’！怎么写得这般东倒西歪？这已经是勾股术最简单的题了，勾股术又是尤为简单的内容，你们以后可怎么办……”
徐文卷只有笑笑了。他也不能哭嘛。
钟鸣了，徐文卷之流刚松了口气，秦博士一句话又把这口气噎死在了他们喉咙里：“鉴于此前算学重修人数过多，师掾慷慨多给了个课时。下节课还是我秦某人。”
“你们小学的夫子到底给你们教的什么勾股？都画验证勾股术的图来看看。圆方图、弦图随你们怎样，得说出个道理分明来。”
众人又开始抓耳饶腮起来，秦博士又在学生中四处游荡，逮着一个问上几句，搞得人人自危。
“亭芳，你刚才第六题会做，第七题怎么写错了？术文看明白了吗？”
“明、明白了。虽然术文先后略有差别，但这两题其实相似……”
“嗯，那你把第七题的解法用第六题的术文形式说给我听。”
这学生磕磕绊绊道：“去本自乘，以委地数自乘……并之。和，倍委数除之，即得索长。”[④]
“可以。只别是照猫画虎了，你可明白第六第七之间的异同？”
“股弦差自乘，股自乘……二者相加，而后云云求出的是弦；二者相减，而后同样方法求出的是勾。”
“很好。那我问你，术文里‘以出水一尺自乘，减之’，那要是减后为负呢？”
“那……那换过来用大者去减小者……”
“荒诞！一钓就上钩！？勾股弦，二者之差必定小于第三者，根基都忘了！……”
转码声明：以上内容基于搜索引擎转码技术对网站内容进行转码阅读，自身不保存任何数据，请您支持正版