第五章 恶魔般的概率（3）
“问题3：假设有一间教室里面有1000个座椅，编号分别为1~1000，而外面也正好有1000个学生。”
“这时编号1的同学走了进来，这个同学的性格非常随便，从来不挑座位，进教室后就按等概率的随机坐在了一个位置上。”
“1号坐下后，2号也走了进来。2号与1号不同，2号进教室后，要先看有没有人坐在2号座位上。如果有，那他就等概率的随机坐在一个位置上。如果没有，那么他就直接坐在2号座位上。”
“接下来的3号直至1000号皆是如此。以此类推，那么1000号同学坐在编号为1000的座位上的概率是多少？如果这个数字增加到1万呢？时间为五分钟，计时开始。”
“这个题听着似乎没什么陷阱，只不过感觉数字挺大，应该蛮难算的，会不会考的是心算？”墨菲在旁边弱弱的说出了她的见解。
王刚听完题目后思考了一会儿，就也回答到：“确实1000个人样的样本容量太大了。根本没法用数学概率公式直接去算。”
王刚回头问了一下鲁一：“怎么样？你有什么想法，算出来了吗？”
鲁一点点头回答道：“这道题目确实有些难。它其实答案是非常简洁的，只不过思路比较弯弯绕绕，而且你得理解一样的东西。”
墨菲这时阴阳怪气的转头去问思怡：“我们的北大博士生算出来了没有啊？”思怡只是点点头都懒得回答。
“怎么可能？题目这么复杂，你怎么可能一下子就算出来了？”墨菲难以置信的说道。
鲁一也懒得去理她，只是回头与思怡商量：“这道题目你去还是我去？”
思怡这才抬起头回答鲁一：“这道题目必须……你去回答比较合适。因为最后一道题是最难的，我们必须要保证最后一道题目有人能答的出来。我不了解你的实力，但我相信我自己可以能答出来。”
“不。”鲁一第一次反驳思怡道“这道题目必须由你去回答。我已经知道了最后一题的考试模式与题目。我相信那道题目我能做的出来，但是必须有你的配合。所以这道题目必须你去答。”
三个人都非常诧异，思怡低头沉思不语，剩下两人则追问道“这怎么可能，你是怎么知道的？”
鲁一也不再藏着掖着了，从兜里拿出一张卡片：“上一关由于我的完美通关主持人所给我的神秘道具奖励。这张卡可以让我知道后面那道题目的类型以及回答的形式。只不过它有限制，只能我自己知道，不能告诉你们，不然马上失效。”
思怡点点头，也不再说话，只是等到时间一到，站起身来快速冷静的回答完了整个过程：“无论多少人，概率都是1/2。这个问题可以通过推理和递归的方式来解决。
让我们考虑最后一个同学，即1000号同学。他只有两种情况可以坐在编号1000的座位上：
1.如果1号同学坐在自己的座位上（编号1），那么1000号同学一定可以坐在编号1000的座位上，因为先前的所有同学也都按照座位号坐下来了。
2.如果1号同学坐在1000号同学的座位上（编号1000），那么1000号同学一定无法坐在编号1000的座位上，因为他的座位被占用了。
现在我们需要计算这两种情况发生的概率。
首先考虑第一种情况，即1号同学坐在自己的座位上。这种情况下，后续的所有同学都会坐在自己的座位上，所以1000号同学可以坐在编号1000的座位上的概率为1。
然后考虑第二种情况，即1号同学坐在1000号同学的座位上。这种情况下，后续的所有同学都会坐在其他人的座位上，除了最后一个同学1000号。在接下来的同学中，只有1000号同学才能坐在编号1000的座位上，而其他同学都不能。所以这种情况下1000号同学坐在编号1000的座位上的概率为0。
因此，1000号同学坐在编号1000的座位上的总概率为1*p(第一种情况发生的概率)+0*p(第二种情况发生的概率)=p(第一种情况发生的概率)。
现在我们需要计算第一种情况发生的概率。在第一种情况下，1号同学坐在自己的座位上，那么2号同学有两种选择：坐在自己的座位上或者坐在其他人的座位上。如果2号同学坐在自己的座位上，那么后续的同学都会坐在自己的座位上，所以1000号同学可以坐在编号1000的座位上的概率为1。如果2号同学坐在其他人的座位上，那么问题就转化为一个类似的子问题，即有999个座位和999个同学的情况。所以第一种情况的概率可以表示为：
p(第一种情况发生的概率)=1/2*1+1/2*p(类似的子问题的概率)
将类似的子问题的概率用p表示，可以得到：
p=1/2*1+1/2*p
解这个方程可以得到p=1/2。
因此，1000号同学坐在编号1000的座位上的概率为1/2。
简而言之，无论教室和学生人数是多少，1000号同学坐在编号1000的座位上的概率始终是1/2。”
在听完思怡的回答后，男主持罕见的从脸上露出来一丝笑容：“你们很不错，我很期待你们最后一题的表现。”
两分钟结束，黑板上1~8组的八个编号只剩下了四个。“接下来这道题目，请大家做好准备。我会以一种特殊的方式要求你们回答问题。而且这道题目有整整十分钟的思考时间。”
“那么问题4请听题：假设你又被传送到了一间密室中。密室中有一个狡猾的哥布林，他想和你玩一个游戏。你只有赢了这场游戏才能走。”
“这场游戏的规则是这样的：当游戏开始时，他会使用魔法将你催眠。然后他会抛掷一枚正常的硬币。如果这枚硬币是正面朝上，他会在第一天将你叫醒，并向你提出一个决定游戏胜负的问题；如果是反面朝上，他会在之后连续的三天每天都叫你叫醒，并向你提出问题。每次问完你问题后都会将你催眠。”
“但是他的魔法有一个bug。就是你每次被催眠后就会忘记前一天的事情。简单来讲，你的每一次被叫醒都会感觉是为第一次被叫醒。”
“在你醒后，那个邪恶的哥布林向你提出了这样一个问题：我抛掷这枚硬币正面朝上的概率是多少？请问你该如何回答？”
（虽然没有推荐票，但是我还是感谢大家的阅读，谢谢大家！！！）
“这时编号1的同学走了进来，这个同学的性格非常随便，从来不挑座位，进教室后就按等概率的随机坐在了一个位置上。”
“1号坐下后，2号也走了进来。2号与1号不同，2号进教室后，要先看有没有人坐在2号座位上。如果有，那他就等概率的随机坐在一个位置上。如果没有，那么他就直接坐在2号座位上。”
“接下来的3号直至1000号皆是如此。以此类推，那么1000号同学坐在编号为1000的座位上的概率是多少？如果这个数字增加到1万呢？时间为五分钟，计时开始。”
“这个题听着似乎没什么陷阱，只不过感觉数字挺大，应该蛮难算的，会不会考的是心算？”墨菲在旁边弱弱的说出了她的见解。
王刚听完题目后思考了一会儿，就也回答到：“确实1000个人样的样本容量太大了。根本没法用数学概率公式直接去算。”
王刚回头问了一下鲁一：“怎么样？你有什么想法，算出来了吗？”
鲁一点点头回答道：“这道题目确实有些难。它其实答案是非常简洁的，只不过思路比较弯弯绕绕，而且你得理解一样的东西。”
墨菲这时阴阳怪气的转头去问思怡：“我们的北大博士生算出来了没有啊？”思怡只是点点头都懒得回答。
“怎么可能？题目这么复杂，你怎么可能一下子就算出来了？”墨菲难以置信的说道。
鲁一也懒得去理她，只是回头与思怡商量：“这道题目你去还是我去？”
思怡这才抬起头回答鲁一：“这道题目必须……你去回答比较合适。因为最后一道题是最难的，我们必须要保证最后一道题目有人能答的出来。我不了解你的实力，但我相信我自己可以能答出来。”
“不。”鲁一第一次反驳思怡道“这道题目必须由你去回答。我已经知道了最后一题的考试模式与题目。我相信那道题目我能做的出来，但是必须有你的配合。所以这道题目必须你去答。”
三个人都非常诧异，思怡低头沉思不语，剩下两人则追问道“这怎么可能，你是怎么知道的？”
鲁一也不再藏着掖着了，从兜里拿出一张卡片：“上一关由于我的完美通关主持人所给我的神秘道具奖励。这张卡可以让我知道后面那道题目的类型以及回答的形式。只不过它有限制，只能我自己知道，不能告诉你们，不然马上失效。”
思怡点点头，也不再说话，只是等到时间一到，站起身来快速冷静的回答完了整个过程：“无论多少人，概率都是1/2。这个问题可以通过推理和递归的方式来解决。
让我们考虑最后一个同学，即1000号同学。他只有两种情况可以坐在编号1000的座位上：
1.如果1号同学坐在自己的座位上（编号1），那么1000号同学一定可以坐在编号1000的座位上，因为先前的所有同学也都按照座位号坐下来了。
2.如果1号同学坐在1000号同学的座位上（编号1000），那么1000号同学一定无法坐在编号1000的座位上，因为他的座位被占用了。
现在我们需要计算这两种情况发生的概率。
首先考虑第一种情况，即1号同学坐在自己的座位上。这种情况下，后续的所有同学都会坐在自己的座位上，所以1000号同学可以坐在编号1000的座位上的概率为1。
然后考虑第二种情况，即1号同学坐在1000号同学的座位上。这种情况下，后续的所有同学都会坐在其他人的座位上，除了最后一个同学1000号。在接下来的同学中，只有1000号同学才能坐在编号1000的座位上，而其他同学都不能。所以这种情况下1000号同学坐在编号1000的座位上的概率为0。
因此，1000号同学坐在编号1000的座位上的总概率为1*p(第一种情况发生的概率)+0*p(第二种情况发生的概率)=p(第一种情况发生的概率)。
现在我们需要计算第一种情况发生的概率。在第一种情况下，1号同学坐在自己的座位上，那么2号同学有两种选择：坐在自己的座位上或者坐在其他人的座位上。如果2号同学坐在自己的座位上，那么后续的同学都会坐在自己的座位上，所以1000号同学可以坐在编号1000的座位上的概率为1。如果2号同学坐在其他人的座位上，那么问题就转化为一个类似的子问题，即有999个座位和999个同学的情况。所以第一种情况的概率可以表示为：
p(第一种情况发生的概率)=1/2*1+1/2*p(类似的子问题的概率)
将类似的子问题的概率用p表示，可以得到：
p=1/2*1+1/2*p
解这个方程可以得到p=1/2。
因此，1000号同学坐在编号1000的座位上的概率为1/2。
简而言之，无论教室和学生人数是多少，1000号同学坐在编号1000的座位上的概率始终是1/2。”
在听完思怡的回答后，男主持罕见的从脸上露出来一丝笑容：“你们很不错，我很期待你们最后一题的表现。”
两分钟结束，黑板上1~8组的八个编号只剩下了四个。“接下来这道题目，请大家做好准备。我会以一种特殊的方式要求你们回答问题。而且这道题目有整整十分钟的思考时间。”
“那么问题4请听题：假设你又被传送到了一间密室中。密室中有一个狡猾的哥布林，他想和你玩一个游戏。你只有赢了这场游戏才能走。”
“这场游戏的规则是这样的：当游戏开始时，他会使用魔法将你催眠。然后他会抛掷一枚正常的硬币。如果这枚硬币是正面朝上，他会在第一天将你叫醒，并向你提出一个决定游戏胜负的问题；如果是反面朝上，他会在之后连续的三天每天都叫你叫醒，并向你提出问题。每次问完你问题后都会将你催眠。”
“但是他的魔法有一个bug。就是你每次被催眠后就会忘记前一天的事情。简单来讲，你的每一次被叫醒都会感觉是为第一次被叫醒。”
“在你醒后，那个邪恶的哥布林向你提出了这样一个问题：我抛掷这枚硬币正面朝上的概率是多少？请问你该如何回答？”
（虽然没有推荐票，但是我还是感谢大家的阅读，谢谢大家！！！）
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